This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
1) Démontrons que (2x) - sqrt(3)(2x) = 2(2x + ()/(3)). Step 1: Utiliser la formule d'addition du cosinus. La formule est (A+B) = A B - A B. On pose A = 2x et B = ()/(3). Step 2: Substituer les valeurs dans le membre de droite. 2(2x + ()/(3)) = 2((2x)(()/(3)) - (2x)(()/(3))) Step 3: Remplacer les valeurs de (()/(3)) et (()/(3)). On sait que (()/(3)) = (1)/(2) et (()/(3)) = sqrt(3)2. 2((2x)·(1)/(2) - (2x)·sqrt(3)2) Step 4: Simplifier l'expression. 2·(1)/(2)(2x) - 2·sqrt(3)2(2x) = (2x) - sqrt(3)(2x) Le membre de droite est égal au membre de gauche. Donc, l'identité est prouvée. (2x) - sqrt(3)(2x) = 2(2x + ()/(3)) 2) Résolvons dans R l'équation (E): (2x) - sqrt(3)(2x) = -1. Step 1: Utiliser l'identité prouvée en 1). L'équation (E) peut être réécrite comme 2(2x + ()/(3)) = -1. Step 2: Isoler le terme cosinus. (2x + ()/(3)) = -(1)/(2) Step 3: Trouver les angles dont le cosinus est -(1)/(2). On sait que ((2)/(3)) = -(1)/(2). Les solutions générales pour () = () sont = + 2k ou = - + 2k, où k Z. Donc, on a deux cas pour 2x + ()/(3): Cas 1: 2x + ()/(3) = (2)/(3) + 2k Cas 2: 2x + ()/(3) = -(2)/(3) + 2k Step 4: Résoudre pour x dans chaque cas. Cas 1: 2x = (2)/(3) - ()/(3) + 2k 2x = ()/(3) + 2k x = ()/(6) + k Cas 2: 2x = -(2)/(3) - ()/(3) + 2k 2x = -(3)/(3) + 2k 2x = - + 2k x = -()/(2) + k Les solutions dans R sont: x = ()/(6) + k ou x = -()/(2) + k, k Z b) Représentons les solutions sur le cercle trigonométrique. Les solutions sont de la forme x = ()/(6) + k et x = -()/(2) + k. Pour x = ()/(6) + k: • Si k=0, x = ()/(6). • Si k=1, x = ()/(6) + = (7)/(6).