Démontrez l'identité (2x) - sqrt(3)(2x) = 2(2x + (pi)/(3)) et résolvez l'équation (2x) - sqrt(3)(2x) = -1.

La formule est $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
On pose $A = 2x$ et $B = \frac{\pi}{3}$.

On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Le membre de droite est égal au membre de gauche.
Donc, l'identité est prouvée.

2. Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E): \cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = -1$.

L'équation $(E)$ peut être réécrite comme $2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$.

On sait que $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Les solutions générales pour $\cos(\theta) = \cos(\alpha)$ sont $\theta = \alpha + 2k\pi$ ou $\theta = -\alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.
Donc, on a deux cas pour $2x + \frac{\pi}{3}$:
Cas 1: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$
Cas 2: $2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$

Cas 1:

Cas 2:

Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont:

b) Représentons les solutions sur le cercle trigonométrique.

Les solutions sont de la forme $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ et $x = -\frac{\pi}{2} + k\pi$.
Pour $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$:

• Si $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$.
• Si $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.