Soit l'équation : (E): x³+3x²+4x+1=0 a) Montrer que l'équation (E) admet une solution unique α dans ]-1,0[ b) Donner un encadrement d'amplitude 0,25 de cette solution α.

نعتبر الدالة $f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 1$.
الدالة $f(x)$ هي دالة كثيرة حدود، وبالتالي فهي مستمرة على $\mathbb{R}$، ومن ثم مستمرة على المجال $]-1,0[$.

نحسب قيم الدالة عند $x = -1$ و $x = 0$:

بما أن $f(-1) = -1 < 0$ و $f(0) = 1 > 0$، وحيث أن $f$ مستمرة على المجال $[-1,0]$، فإنه حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد على الأقل حل واحد $\alpha \in ]-1,0[$ بحيث $f(\alpha) = 0$.

نحسب المشتقة الأولى للدالة $f(x)$:

لإيجاد إشارة $f'(x)$، نحسب مميز المعادلة التربيعية $3x^2 + 6x + 4 = 0$:

بما أن $\Delta < 0$ ومعامل $x^2$ (وهو 3) موجب، فإن $f'(x) > 0$ لجميع قيم $x \in \mathbb{R}$.
هذا يعني أن الدالة $f(x)$ متزايدة تمامًا على $\mathbb{R}$، وبالتالي متزايدة تمامًا على المجال $]-1,0[$.
بما أن الدالة $f(x)$ مستمرة ومتزايدة تمامًا على المجال $]-1,0[$، و $f(-1) < 0 < f(0)$، فإن المعادلة (E) تقبل حلاً وحيدًا $\alpha$ في المجال $]-1,0[$.

الجزء ب): إعطاء تأطير للحل $\alpha$ بسعة 0.25.

نعلم أن $\alpha \in ]-1,0[$.
نحسب قيمة الدالة عند منتصف المجال، $x = -0.5$:

بما أن $f(-0.5) = -0.375 < 0$ و $f(0) = 1 > 0$، فإن $\alpha \in ]-0.5, 0[$.
سعة هذا المجال هي $0 - (-0.5) = 0.5$.

نحسب قيمة الدالة عند منتصف المجال الجديد $]-0.5, 0[$, وهو $x = -0.25$:

بما أن $f(-0.5) = -0.375 < 0$ و $f(-0.25) = 0.171875 > 0$، فإن $\alpha \in ]-0.5, -0.25[$.
سعة هذا المجال هي $-0.25 - (-0.5) = 0.25$.
هذا التأطير يحقق السعة المطلوبة.

إذن، التأطير للحل $\alpha$ بسعة 0.25 هو: