Déterminer le domaine de définition et calculer les limites des fonctions suivantes.

Voici la détermination du domaine de définition et le calcul des limites pour chaque fonction.

1) $f(x) = 2x^2 - 2x + 1$

• Étape 1: Déterminer le domaine de définition $D_f$. La fonction $f(x)$ est un polynôme. Les polynômes sont définis pour toutes les valeurs réelles de $x$.

  $$D_f = \mathbb{R}$$

• Étape 2: Calculer les limites aux bornes du domaine. Pour un polynôme, la limite à l'infini est celle de son terme de plus haut degré.

  $$\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - 2x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 2x^2 = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} (2x^2 - 2x + 1) = \lim_{x \to -\infty} 2x^2 = +\infty$$

  Les limites sont : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$

2) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + \sqrt{2}$

• Étape 1: Déterminer le domaine de définition $D_f$. La fonction $f(x)$ est un polynôme.

  $$D_f = \mathbb{R}$$

• Étape 2: Calculer les limites aux bornes du domaine. La limite à l'infini est celle de son terme de plus haut degré.

  $$\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + \sqrt{2}\right) = \lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{3}x^3 = -\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + \sqrt{2}\right) = \lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{3}x^3 = -\frac{1}{3}(-\infty)^3 = -\frac{1}{3}(-\infty) = +\infty$$

  Les limites sont : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$

3) $f(x) = \frac{2x^2 - 1}{-x+3}$

• Étape 1: Déterminer le domaine de définition $D_f$. La fonction $f(x)$ est une fonction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.

  $$-x+3 \neq 0 \implies x \neq 3$$ $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[$$

• Étape 2: Calculer les limites à l'infini. Pour une fonction rationnelle, la limite à l'infini est celle du rapport des termes de plus haut degré.

  $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 1}{-x+3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{-x} = \lim_{x \to +\infty} -2x = -\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 - 1}{-x+3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{-x} = \lim_{x \to -\infty} -2x = +\infty$$

• Étape 3: Calculer les limites en $x=3$. Le numérateur en $x=3$ est $2(3)^2 - 1 = 17$. Le dénominateur est 0. Lorsque $x \to 3^-$, $-x+3$ est positif ($0^+$).

  $$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 1}{-x+3} = \frac{17}{0^+} = +\infty$$

  Lorsque $x \to 3^+$, $-x+3$ est négatif ($0^-$).

  $$\lim_{x \to 3^+} \frac{2x^2 - 1}{-x+3} = \frac{17}{0^-} = -\infty$$

  Les limites sont : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty}$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2-x}$

• Étape 1: Déterminer le domaine de définition $D_f$. La fonction $f(x)$ est une fonction rationnelle. Le dénominateur ne peut pas être nul.

  $$2-x \neq 0 \implies x \neq 2$$ $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} = ]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$$

• Étape 2: Calculer les limites à l'infini. La limite à l'infini est celle du rapport des termes de plus haut degré.

  $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 4x}{2-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{-x} = \lim_{x \to +\infty} -x = -\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x}{2-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{-x} = \lim_{x \to -\infty} -x = +\infty$$

• Étape 3: Calculer les limites en $x=2$. Le numérateur en $x=2$ est $2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Le dénominateur est 0. Lorsque $x \to 2^-$, $2-x$ est positif ($0^+$).

  $$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4x}{2-x} = \frac{-4}{0^+} = -\infty$$

  Lorsque $x \to 2^+$, $2-x$ est négatif ($0^-$).

  $$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4x}{2-x} = \frac{-4}{0^-} = +\infty$$

  Les limites sont : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty}$

5) $f(x) = \sqrt{3x^2 - 6x}$

• Étape 1: Déterminer le domaine de définition $D_f$. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.

  $$3x^2 - 6x \ge 0$$

  Factorisons l'expression : $3x(x-2) \ge 0$. Les racines sont $x=0$ et $x=2$. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

  $$D_f = ]-\infty ; 0] \cup [2 ; +\infty[$$

• Étape 2: Calculer les limites aux bornes du domaine.

  $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{3x^2 - 6x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2\left(3 - \frac{6}{x}\right)}$$

  Comme $x \to +\infty$, $x^2$ est positif, donc $\sqrt{x^2} = x$.

  $$= \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{3 - \frac{6}{x}} = +\infty \cdot \sqrt{3 - 0} = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3x^2 - 6x} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2\left(3 - \frac{6}{x}\right)}$$

  Comme $x \to -\infty$, $x^2$ est positif, donc $\sqrt{x^2} = |x| = -x$.

  $$= \lim_{x \to -\infty} -x\sqrt{3 - \frac{6}{x}} = -(-\infty) \cdot \sqrt{3 - 0} = +\infty$$

  Les limites sont : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$