न्यूटन के अग्र अंतर्वेशन सूत्र का उपयोग करते हुए सामान्य संकेतों में (dy)/(dx) x=x0 का लगभग मान है -

न्यूटन का अग्र अंतर्वेशन सूत्र है:

$$y(x) = y_0 + u \Delta y_0 + \frac{u(u-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \frac{u(u-1)(u-2)}{3!} \Delta^3 y_0 + \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{4!} \Delta^4 y_0 + \dots$$

जहाँ $u = \frac{x-x_0}{h}$।

हमें $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना है। हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

$u = \frac{x-x_0}{h}$ से, हम $\frac{du}{dx}$ ज्ञात कर सकते हैं:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x-x_0}{h}\right) = \frac{1}{h}$$

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left[ y_0 + u \Delta y_0 + \frac{u^2-u}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{u^3-3u^2+2u}{6} \Delta^3 y_0 + \frac{u^4-6u^3+11u^2-6u}{24} \Delta^4 y_0 + \dots \right]$$

प्रत्येक पद का अवकलन करने पर:

$$\frac{dy}{du} = 0 + \Delta y_0 + \frac{2u-1}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{3u^2-6u+2}{6} \Delta^3 y_0 + \frac{4u^3-18u^2+22u-6}{24} \Delta^4 y_0 + \dots$$

जब $x=x_0$ होता है, तो $u = \frac{x_0-x_0}{h} = 0$ होता है।
$u=0$ को $\frac{dy}{du}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

$$\left(\frac{dy}{du}\right)_{u=0} = \Delta y_0 + \frac{2(0)-1}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{3(0)^2-6(0)+2}{6} \Delta^3 y_0 + \frac{4(0)^3-18(0)^2+22(0)-6}{24} \Delta^4 y_0 + \dots$$ $$\left(\frac{dy}{du}\right)_{u=0} = \Delta y_0 - \frac{1}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{2}{6} \Delta^3 y_0 - \frac{6}{24} \Delta^4 y_0 + \dots$$ $$\left(\frac{dy}{du}\right)_{u=0} = \Delta y_0 - \frac{1}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{1}{3} \Delta^3 y_0 - \frac{1}{4} \Delta^4 y_0 + \dots$$

अब $\frac{du}{dx} = \frac{1}{h}$ से गुणा करें:

$$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=x_0} = \frac{1}{h} \left[ \Delta y_0 - \frac{1}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{1}{3} \Delta^3 y_0 - \frac{1}{4} \Delta^4 y_0 + \dots \right]$$

यह विकल्प (4) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{\text{(4) } \frac{1}{h} \left[ \Delta y_0 - \frac{1}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{1}{3} \Delta^3 y_0 - \frac{1}{4} \Delta^4 y_0 + \dots \right]}$.