Ecris sur ta feuille de copie, le numéro de chaque proposition ci-dessous suivi de Vrai si l'affirmation est vraie ou de Faux si l'affirmation est fausse.

Voici la résolution des exercices 1 et 2. L'exercice 3 n'est pas complet dans l'image fournie.

EXERCICE 1 (2 points)

1. Affirmation 1: "Soit A un évènement d'un univers $\Omega$ tel que P(A) $\neq$ 0. La probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé est $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$." C'est la définition même de la probabilité conditionnelle de B sachant A, notée $P(B|A)$ ou $P_A(B)$. L'affirmation est Vrai.

2. Affirmation 2: "Soit g une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. Si m est un nombre réel compris entre g(a) et g(b) alors l'équation g(x) = m admet une unique solution comprise entre a et b." Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) garantit l'existence d'au moins une solution, mais pas son unicité. L'unicité est garantie si la fonction est de plus strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur l'intervalle [a, b]. L'affirmation est Faux.

3. Affirmation 3: "Soit f une fonction numérique et l un nombre réel. Si pour tout x $\in$ ]0; +$\infty$[, $[f(x)+l] \le g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$." De l'inégalité $f(x) + l \le g(x)$, on déduit $f(x) \le g(x) - l$. Si $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$, alors $\lim_{x \to +\infty} (g(x) - l) = 0 - l = -l$. Par le théorème de comparaison, si $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ existe, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) \le -l$. Ceci ne signifie pas que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$. Par exemple, si $f(x) = -2l$ et $g(x) = 0$, alors $f(x)+l = -l \le 0 = g(x)$, et $\lim f(x) = -2l \neq l$ (sauf si $l=0$). L'affirmation est Faux.

4. Affirmation 4: "La bijection réciproque de la bijection ƒ définie de [0;+$\infty$[ sur [0;+$\infty$[ par $f(x) = x^5$ est la fonction g définie par $g(x) = \sqrt{x}$." Si $f(x) = x^5$, pour trouver sa réciproque $g(x)$, on pose $y = x^5$. Alors $x = y^{1/5} = \sqrt[5]{y}$. Donc, la fonction réciproque est $g(x) = \sqrt[5]{x}$. L'affirmation indique $g(x) = \sqrt{x}$, ce qui est $x^{1/2}$ et non $x^{1/5}$. L'affirmation est Faux.

EXERCICE 2 (3 points)

1. Question 1: "Soit f une fonction numérique. Si pour tout x $\in$ [0; +$\infty$[, $f(x) < -3x^2$ alors $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ est égale à...." Nous avons $f(x) < -3x^2$. Nous savons que $\lim_{x \to +\infty} (-3x^2) = -\infty$. Puisque $f(x)$ est toujours inférieure à une fonction qui tend vers $-\infty$, par le théorème de comparaison, $f(x)$ doit aussi tendre vers $-\infty$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. La bonne réponse est A.

2. Question 2: "a, b et l désignent des nombres réels, ou $-\infty$, ou $+\infty$. Si $\lim_{x \to a} g(x) = b$ et $\lim_{x \to b} f(x) = l$ alors..." C'est la règle de composition des limites. Si la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est $b$, et la limite de $f(y)$ quand $y$ tend vers $b$ est $l$, alors la limite de la fonction composée $f(g(x))$ quand $x$ tend vers $a$ est $l$. La bonne réponse est B.

3. Question 3: "Soit A et B deux évènements d'un univers $\Omega$ tels que P(A) = 0,35 et P(B) = 0,8. Si les évènements A et B sont indépendants alors P(A $\cap$ B) =..." Pour des événements indépendants A et B, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités :

$$\text{P(A} \cap \text{B)} = \text{P(A)} \times \text{P(B)} = 0,35 \times 0,8$$ $$\text{P(A} \cap \text{B)} = 0,28$$

La bonne réponse est B.

4. Question 4: "Soit a un nombre réel positif. Le nombre $\sqrt[3]{a} \times \sqrt{a} \times a^{-4}$ est égal à..." Nous allons convertir les racines en puissances : $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$ $\sqrt{a} = a^{1/2}$ L'expression devient :

$$a^{1/3} \times a^{1/2} \times a^{-4}$$

En utilisant la propriété $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :

$$a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 4}$$

Calculons l'exposant :

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 4 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{24}{6} = \frac{2+3-24}{6} = \frac{5-24}{6} = \frac{-19}{6}$$

Donc, l'expression est $a^{-19/6}$. En examinant les options, $a^{-19/6}$ n'est pas directement listé. Cependant, l'option A est $a^{-3}$. Si l'exposant était $-23/6$ au lieu de $-4$ (ce qui est une différence de $1/6$), le résultat serait $a^{-3}$. Étant donné que c'est une question à choix multiples et que $a^{-3}$ est l'option la plus proche de $a^{-19/6}$ (car $-19/6 \approx -3,167$), nous choisissons cette option en supposant une légère erreur dans l'énoncé. La bonne réponse est A.

EXERCICE 3
L'énoncé de l'exercice 3 est incomplet. Seule la fonction $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}-x}$ est donnée, mais aucune question n'est posée.