f(x) = 2x³+3x²−12x+8 Donne un valeur approche sur ]-∞;2[ -4<<< -3 0,01 ou 10²

Nous allons évaluer la fonction aux bornes de l'intervalle.

$$f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 12(-4) + 8$$ $$f(-4) = 2(-64) + 3(16) + 48 + 8$$ $$f(-4) = -128 + 48 + 48 + 8$$ $$f(-4) = -128 + 104 = -24$$ $$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3) + 8$$ $$f(-3) = 2(-27) + 3(9) + 36 + 8$$ $$f(-3) = -54 + 27 + 36 + 8$$ $$f(-3) = -54 + 71 = 17$$

Puisque $f(-4) = -24 < 0$ et $f(-3) = 17 > 0$, et que $f(x)$ est une fonction polynomiale donc continue, d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins une racine $\alpha$ dans l'intervalle $]-4; -3[$.

Nous cherchons un intervalle $[a; b]$ tel que $b-a \le 0,01$.

• Intervalle initial: $[a_0; b_0] = [-4; -3]$. $f(a_0) = -24$, $f(b_0) = 17$.
• Itération 1: $m_1 = \frac{-4 + (-3)}{2} = -3,5$. $f(-3,5) = 2(-3,5)^3 + 3(-3,5)^2 - 12(-3,5) + 8 = 2(-42,875) + 3(12,25) + 42 + 8 = -85,75 + 36,75 + 42 + 8 = 1$. Puisque $f(-4) < 0$ et $f(-3,5) > 0$, la racine est dans $]-4; -3,5[$. Nouvel intervalle: $[-4; -3,5]$.
• Itération 2: $m_2 = \frac{-4 + (-3,5)}{2} = -3,75$. $f(-3,75) = 2(-3,75)^3 + 3(-3,75)^2 - 12(-3,75) + 8 = -10,28125$. Puisque $f(-3,75) < 0$ et $f(-3,5) > 0$, la racine est dans $]-3,75; -3,5[$. Nouvel intervalle: $[-3,75; -3,5]$.
• Itération 3: $m_3 = \frac{-3,75 + (-3,5)}{2} = -3,625$. $f(-3,625) = -4,4296875$. Puisque $f(-3,625) < 0$ et $f(-3,5) > 0$, la racine est dans $]-3,625; -3,5[$. Nouvel intervalle: $[-3,625; -3,5]$.
• Itération 4: $m_4 = \frac{-3,625 + (-3,5)}{2} = -3,5625$. $f(-3,5625) = -1,640625$. Puisque $f(-3,5625) < 0$ et $f(-3,5) > 0$, la racine est dans $]-3,5625; -3,5[$. Nouvel intervalle: $[-3,5625; -3,5]$.
• Itération 5: $m_5 = \frac{-3,5625 + (-3,5)}{2} = -3,53125$. $f(-3,53125) = -0,3115234375$. Puisque $f(-3,53125) < 0$ et $f(-3,5) > 0$, la racine est dans $]-3,53125; -3,5[$. Nouvel intervalle: $[-3,53125; -3,5]$.
• Itération 6: $m_6 = \frac{-3,53125 + (-3,5)}{2} = -3,515625$. $f(-3,515625) = 0,28466796875$. Puisque $f(-3,53125) < 0$ et $f(-3,515625) > 0$, la racine est dans $]-3,53125; -3,515625[$. Nouvel intervalle: $[-3,53125; -3,515625]$. La longueur de cet intervalle est 0,015625. Ce n'est pas encore $\le 0,01$.
• Itération 7: $m_7 = \frac{-3,53125 + (-3,515625)}{2} = -3,5234375$. $f(-3,5234375) = -0,0025634765625$. Puisque $f(-3,5234375) < 0$ et $f(-3,515625) > 0$, la racine est dans $]-3,5234375; -3,515625[$. Nouvel intervalle: $[-3,5234375; -3,515625]$. La longueur de cet intervalle est 0,0078125. Cette longueur est bien $\le 0,01$.

La racine $\alpha$ est contenue dans l'intervalle $]-3,5234375; -3,515625[$.
Toute valeur dans cet intervalle est une approximation à 0,01 près.
Pour donner une valeur approchée à 0,01 près, nous pouvons prendre le milieu de l'intervalle final, qui est $\frac{-3,5234375 + (-3,515625)}{2} = -3,51953125$.
En arrondissant à deux décimales, nous obtenons $-3,52$.
Alternativement, nous pouvons vérifier les valeurs de $f(x)$ pour les bornes de l'intervalle de 0,01 qui contient la racine:
$f(-3,53) = -0,257894$
$f(-3,52) = 0,287744$
Puisque $f(-3,53) < 0$ et $f(-3,52) > 0$, la racine $\alpha$ est dans l'intervalle $]-3,53; -3,52[$.
La longueur de cet intervalle est 0,01.
Une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près peut être le milieu de cet intervalle, soit $-3,525$, ou l'une de ses bornes.
Si nous choisissons la borne la plus proche de la racine (où $f(x)$ est le plus proche de 0), c'est $-3,53$.
Si nous choisissons une valeur simple à deux décimales, $-3,52$ est une approximation valide car l'erreur est inférieure à 0,01.

Une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près est $\boxed{-3,52}$.