lim_x-7 (sqrt(x+2)−3)/(x−7)

Question

lim_x->7 (sqrt(x+2)−3)/(x−7)

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Pour résoudre la limite lim_(x → 7) (√(x+2)−3)/(x−7), nous remarquons qu'en substituant x=7, nous obtenons la forme indéterminée 0/0. Nous allons utiliser la technique de multiplication par l'expression conjuguée. Step 1: Multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur. L'expression conjuguée de √(x+2)−3 est √(x+2)+3. lim_(x → 7) (√(x+2)−3)/(x−7) = lim_(x → 7) (√(x+2)−3)/(x−7) × (√(x+2)+3)/(√(x+2)+3); Step 2: Simplifier le numérateur en utilisant l'identité (a−b)(a+b) = a²−b². = lim_(x → 7) ((√(x+2))² − 3²)/((x−7)(√(x+2)+3)); = lim_(x → 7) (x+2 − 9)/((x−7)(√(x+2)+3)); = lim_(x → 7) (x−7)/((x−7)(√(x+2)+3)) Step 3: Simplifier l'expression en annulant le facteur commun (x−7). Puisque x → 7, x ≠ 7, donc x−7 ≠ 0. = lim_(x → 7) (1)/(√(x+2)+3); Step 4: Substituer x=7 dans l'expression simplifiée pour évaluer la limite. = (1)/(√(7+2)+3); = (1)/(√(9)+3); = (1)/(3+3); = 1/6 La limite est : 1/6

Lim_x->7 (sqrt(x+2)-3)/(x-7)

Answer

Step-by-step solution

Multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur.

Simplifier le numérateur en utilisant l'identité $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ .

Simplifier l'expression en annulant le facteur commun $(x-7)$ .

Substituer $x=7$ dans l'expression simplifiée pour évaluer la limite.

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