वक p = f(r) के ध्रुव से गुजरने वाली वक्रता त्रिज्या है

ध्रुव से गुजरने वाली वक्रता जीवा की लंबाई (length of the chord of curvature passing through the pole) का सूत्र है:

$$\text{लंबाई} = 2p \frac{dr}{dp}$$

जहाँ $p$ ध्रुव से स्पर्शरेखा तक की लंबवत दूरी है और $r$ ध्रुव से वक्र पर बिंदु तक की त्रिज्या सदिश की लंबाई है।

हमें दिया गया है कि वक्र का समीकरण $p = f(r)$ है।
$r$ के सापेक्ष $p$ का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$\frac{dp}{dr} = f'(r)$$

अब, $\frac{dr}{dp}$ ज्ञात करने के लिए, हम इसका व्युत्क्रम लेते हैं:

$$\frac{dr}{dp} = \frac{1}{f'(r)}$$

वक्रता जीवा की लंबाई के सूत्र में $p = f(r)$ और $\frac{dr}{dp} = \frac{1}{f'(r)}$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$$\text{लंबाई} = 2 \cdot f(r) \cdot \frac{1}{f'(r)}$$ $$\text{लंबाई} = \frac{2f(r)}{f'(r)}$$

प्राप्त परिणाम $\frac{2f(r)}{f'(r)}$ दिए गए विकल्पों में से विकल्प (4) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(4) } \frac{2f(r)}{f'(r)}$.