एक कण पर लगने वाला केंद्रीय बल F = -k/r2 है। कण की कुल ऊर्जा क्या होगी यदि यह r त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में घूम रहा है?

कण पर लगने वाला अभिकेन्द्रीय बल दिया गया है:

$$F = -\frac{k}{r^2}$$

यह एक संरक्षी बल है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U(r)$ को बल के समाकलन से प्राप्त किया जा सकता है:

$$F = -\frac{dU}{dr}$$ $$dU = -F dr$$ $$U(r) = -\int F dr$$ $$U(r) = -\int \left(-\frac{k}{r^2}\right) dr$$ $$U(r) = \int \frac{k}{r^2} dr$$ $$U(r) = k \int r^{-2} dr$$ $$U(r) = k \left(\frac{r^{-1}}{-1}\right)$$ $$U(r) = -\frac{k}{r}$$

यहाँ हमने समाकलन स्थिरांक को शून्य माना है, क्योंकि अनंत पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है.

कण $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त पर गति कर रहा है. अभिकेन्द्रीय बल $\frac{mv^2}{r}$ द्वारा प्रदान किया जाता है.
दिए गए बल का परिमाण $\left|-\frac{k}{r^2}\right| = \frac{k}{r^2}$ है.
इसलिए,

$$\frac{mv^2}{r} = \frac{k}{r^2}$$

दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर:

$$mv^2 = \frac{k}{r}$$

गतिज ऊर्जा (KE) का सूत्र $\frac{1}{2}mv^2$ होता है.

$$KE = \frac{1}{2} \left(\frac{k}{r}\right)$$ $$KE = \frac{k}{2r}$$

कुल ऊर्जा (E) गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है:

$$E = KE + U$$ $$E = \frac{k}{2r} + \left(-\frac{k}{r}\right)$$ $$E = \frac{k}{2r} - \frac{k}{r}$$ $$E = \frac{k}{2r} - \frac{2k}{2r}$$ $$E = \frac{k - 2k}{2r}$$ $$E = -\frac{k}{2r}$$

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प (4) सही है.

The final answer is $\text{(4) -k/2r}$.