Soit ABC un triangle et M un point de [BC]. Démontrer que M est le barycentre des points pondérés (B, aire(CAM)) et (C, aire(BAM)).

Soit h la hauteur issue du sommet A sur la droite (BC).
L'aire du triangle CAM est donnée par :
aire(CAM) = (1/2) × CM × h

L'aire du triangle BAM est donnée par :
aire(BAM) = (1/2) × BM × h

Nous devons vérifier si :
( (1/2) × CM × h ) * vector(MB) + ( (1/2) × BM × h ) * vector(MC) = vector(0)

On peut factoriser (1/2) × h de l'équation :
(1/2) × h × [ CM * vector(MB) + BM * vector(MC) ] = vector(0)

Puisque h ≠ 0 (le triangle ABC n'est pas dégénéré), l'expression entre crochets doit être nulle :
CM * vector(MB) + BM * vector(MC) = vector(0)

Puisque M est un point du segment [BC], les vecteurs vector(MB) et vector(MC) sont colinéaires et de sens opposés.
On peut écrire vector(MC) = -vector(CM).
De plus, les longueurs BM et CM sont positives.
L'équation devient :
CM * vector(MB) + BM * (-vector(CM)) = vector(0)

Nous savons que vector(MB) et vector(MC) sont dans des directions opposées. Donc, vector(MB) = - (BM/CM) * vector(MC).
Substituons cela dans l'équation CM * vector(MB) + BM * vector(MC) = vector(0) :
CM * ( - (BM/CM) * vector(MC) ) + BM * vector(MC) = vector(0)
-BM * vector(MC) + BM * vector(MC) = vector(0)
vector(0) = vector(0)

L'égalité est vérifiée.

Conclusion:
Puisque aire(CAM) * vector(MB) + aire(BAM) * vector(MC) = vector(0), M est bien le barycentre des points pondérés (B, aire(CAM)) et (C, aire(BAM)).