tan(45−30) = (tan 45 - tan 30) / (1+tan 45.tan 30) = (1−1/sqrt(3))/(1+1.1/sqrt(3))

$\tan(A-B)$ का सूत्र है:

$$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$$

यहाँ, $A = 45^\circ$ और $B = 30^\circ$ है।

हम जानते हैं कि:

• $\tan 45^\circ = 1$
• $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ इन मानों को सूत्र में रखने पर:

$$\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ $$\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$$

अंश और हर दोनों में $\sqrt{3}$ को लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में लें:

$$\tan 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}$$

$\sqrt{3}$ को अंश और हर से रद्द करें:

$$\tan 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$$

हर से वर्गमूल हटाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) $(\sqrt{3} - 1)$ से गुणा करेंगे:

$$\tan 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$$ $$\tan 15^\circ = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2}$$ $$\tan 15^\circ = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}(1) + (1)^2}{3 - 1}$$ $$\tan 15^\circ = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2}$$ $$\tan 15^\circ = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$$

अंश से 2 को उभयनिष्ठ (common) लें और हर से रद्द करें:

$$\tan 15^\circ = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2}$$ $$\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$$

अतः, $\tan 15^\circ$ का मान है:

$$\boxed{2 - \sqrt{3}}$$