Show that sin θ + sin 2θ / 1 + cos θ + cos 2θ = tan θ. (ii) Find the general solution of the equation sin 4x – cos 2x = 0.

Nous savons que $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ et $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$.
Substituons ces identités dans le côté gauche de l'équation (LHS).

$$\text{LHS} = \frac{\sin\theta + 2\sin\theta\cos\theta}{1 + \cos\theta + (2\cos^2\theta - 1)}$$

Factorisons $\sin\theta$ au numérateur et simplifions le dénominateur.

$$\text{LHS} = \frac{\sin\theta(1 + 2\cos\theta)}{\cos\theta + 2\cos^2\theta}$$

Factorisons $\cos\theta$ au dénominateur.

$$\text{LHS} = \frac{\sin\theta(1 + 2\cos\theta)}{\cos\theta(1 + 2\cos\theta)}$$

En supposant que $1 + 2\cos\theta \neq 0$, nous pouvons annuler le terme $(1 + 2\cos\theta)$.

$$\text{LHS} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Nous savons que $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$.

$$\text{LHS} = \tan\theta$$

Ceci est égal au côté droit de l'équation (RHS).
Donc, l'identité est prouvée.

4. (ii) Trouver la solution générale de l'équation $\sin 4x - \cos 2x = 0$.

Nous savons que $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.
Substituons cette identité dans l'équation.

$$2\sin 2x \cos 2x - \cos 2x = 0$$

Factorisons le terme commun $\cos 2x$.

$$\cos 2x (2\sin 2x - 1) = 0$$

L'équation est satisfaite si $\cos 2x = 0$ ou si $2\sin 2x - 1 = 0$.

Cas 1: $\cos 2x = 0$
La solution générale pour $\cos y = 0$ est $y = \frac{\pi}{2} + n\pi$, où $n \in \mathbb{Z}$.
Donc, $2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.
Divisons par 2 pour trouver $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Cas 2: $2\sin 2x - 1 = 0$
Cela implique $\sin 2x = \frac{1}{2}$.
La solution générale pour $\sin y = \frac{1}{2}$ est $y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $y = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.

Subcase 2a: $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
Divisons par 2 pour trouver $x$:

$$x = \frac{\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Subcase 2b: $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
Divisons par 2 pour trouver $x$:

$$x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

La solution générale de l'équation est l'ensemble de toutes les solutions trouvées.

La solution générale est :

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad \text{où } n, k \in \mathbb{Z}}$$