The quadratic equation with 2 - i as one of its roots is

La bonne option est D.
La réponse est $\boxed{\text{D. } x^2 - 4x + 5 = 0}$.

Avec $A = \frac{\pi}{4}$ et $B = \frac{x}{2}$, on a $\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.

La bonne option est A.
La réponse est $\boxed{\text{A. } \tan^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)}$.

La formule du terme général est $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Ici, $a=2$, $b=\frac{x}{2}$, $n=8$. On cherche le coefficient de $x^3$, donc $k=3$.

Le coefficient calculé est 224. Cependant, 224 n'est pas une option. Les options données sont 56 ou -56. Il est probable qu'il y ait une erreur dans la question ou les options, et que la question ait voulu demander le coefficient de $x^3$ dans le développement de $(1+x)^8$, qui est $\binom{8}{3} = 56$. En supposant cette intention, nous choisissons l'option A.
La réponse est $\boxed{\text{A. } 56}$.

La bonne option est D.
La réponse est $\boxed{\text{D. } y = e^2 x^2}$.

La bonne option est A.
La réponse est $\boxed{\text{A. } 2 + \ln 2}$.

Posons $X = \frac{1}{x}$ et $Y = \frac{1}{y}$. L'équation devient :

Le coefficient directeur (pente) de cette droite est $m = -\frac{a}{b}$.

La bonne option est D.
La réponse est $\boxed{\text{D. } -\frac{b}{a}}$.

Le centre $(h,k)$ est le milieu du diamètre.

Le rayon est la distance entre le centre et l'un des points du diamètre. Utilisons le point $(1,2)$.

L'équation d'un cercle est $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.

La bonne option est A.
La réponse est $\boxed{\text{A. } x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0}$.

Soit $z = x + yi = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Donc $x = -\frac{1}{2}$ et $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

L'argument $\theta$ satisfait $\cos \theta = \frac{x}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{y}{|z|}$.

Puisque $\cos \theta < 0$ et $\sin \theta > 0$, l'angle $\theta$ se trouve dans le deuxième quadrant. L'angle de référence est $\frac{\pi}{3}$.
Donc, $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
La bonne option est A.
La réponse est $\boxed{\text{A. } \frac{2\pi}{3}}$.

$aRa$ signifie $a = a^n$ pour un certain $n \in \mathbb{Z}$.
Pour $a=2$, $2 = 2^n \implies n=1$. Donc $2R2$ est vrai.
Pour $a=-2$, $-2 = (-2)^n$. Il n'existe pas d'entier $n$ tel que $(-2)^n = -2$. Par exemple, $(-2)^1 = -2$, mais si $n=1$, alors $a=a^1$ est toujours vrai.
Ah, je me suis trompé dans mon brouillon. Si $a=a^n$, alors $n=1$ est une solution pour tout $a \neq 0, 1, -1$.
Si $a=0$, $0=0^n$ est vrai pour $n=1$.
Si $a=1$, $1=1^n$ est vrai pour tout $n$.
Si $a=-1$, $-1=(-1)^n$ est vrai pour tout $n$ impair.
Donc, la relation est réflexive pour la plupart des entiers, mais pas pour tous. Par exemple, si $a=-2$, $a=a^n$ n'est vrai que si $n=1$.
Si $a=0$, $0=0^n$ est vrai pour $n=1$.
Si $a=1$, $1=1^n$ est vrai pour tout $n$.
Si $a=-1$, $-1=(-1)^n$ est vrai pour $n$ impair.
La définition de la réflexivité est "pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $aRa$".
Si $a=2$, $2=2^1$, donc $2R2$.
Si $a=-2$, $-2=(-2)^n$. Si $n=1$, $-2=-2$. Donc $-2R-2$ est vrai.
Il semble que $a=a^n$ est toujours vrai pour $n=1$. Donc la relation est réflexive.

Reprenons la réflexivité: $aRa \iff a = a^n$ pour un $n \in \mathbb{Z}$.
Si $a=0$, $0=0^n$. Si $n=1$, $0=0$. Vrai.
Si $a=1$, $1=1^n$. Si $n=1$, $1=1$. Vrai.
Si $a=-1$, $-1=(-1)^n$. Si $n=1$, $-1=-1$. Vrai.
Si $a=2$, $2=2^n$. Si $n=1$, $2=2$. Vrai.
Il semble que pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $a=a^1$ est vrai. Donc la relation est réflexive.

$aRb \implies b = a^n$ pour un $n \in \mathbb{Z}$.
$bRa \implies a = b^m$ pour un $m \in \mathbb{Z}$.
Prenons $a=2, b=4$. $4 = 2^2$, donc $2R4$ est vrai (avec $n=2$).
Est-ce que $4R2$ est vrai ? $2 = 4^m$. Cela signifie $2 = (2^2)^m = 2^{2m}$. Donc $1 = 2m$, ce qui donne $m = 1/2$.
Puisque $m$ doit être un entier, $4R2$ est faux.
Donc, la relation n'est pas symétrique.

$aRb \implies b = a^n$ pour un $n \in \mathbb{Z}$.
$bRc \implies c = b^m$ pour un $m \in \mathbb{Z}$.
Substituons $b$ dans la deuxième équation : $c = (a^n)^m = a^{nm}$.
Puisque $n$ et $m$ sont des entiers, leur produit $nm$ est aussi un entier.
Donc $c = a^{nm}$ signifie que $aRc$ est vrai.
Donc, la relation est transitive.

Conclusion: La relation est réflexive et transitive, mais pas symétrique.
Les options sont:
A. une relation d'équivalence (nécessite réflexive, symétrique, transitive) - Non.
B. réflexive mais pas symétrique - Oui, cela correspond à nos conclusions.
C. symétrique mais pas transitive - Non.
D. transitive mais pas réflexive - Non (elle est réflexive).

La bonne option est B.
La réponse est $\boxed{\text{B. réflexive mais pas symétrique}}$.

Pour que $\ln(u)$ soit défini, l'argument $u$ doit être strictement positif.
Donc, $5x - 2 > 0$.

Le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x > \frac{2}{5}$.

La bonne option est A.
La réponse est $\boxed{\text{A. } \left\{x : x > \frac{2}{5}, x \in \mathbb{R}\right\}}$.

Parmi les options, 1,417 est la plus proche.
La bonne option est B.
La réponse est $\boxed{\text{B. } 1,417}$.

La formule pour la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
On nous donne $S_n = 187$, $a_1 = 2$ et $a_n = 32$.

La bonne option est B.
La réponse est $\boxed{\text{B. } 11}$.

Soit $y = e^x$. Puisque $e^x > 0$, on a $y > 0$.
L'équation devient :

Puisque $y = e^x \neq 0$, on peut diviser par $y$:

Factorisons le trinôme : on cherche deux nombres dont le produit est -4 et la somme est -3. Ces nombres sont -4 et 1.

Cela donne deux solutions pour $y$: