The set of values of x for which (x+1)2+3 / ((x+3)(x−2)) < 0 is

Le numérateur est $(x+1)^2+3$.
Puisque $(x+1)^2$ est toujours supérieur ou égal à 0 pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $(x+1)^2 \ge 0$.
Par conséquent, $(x+1)^2+3 \ge 0+3$, ce qui signifie que $(x+1)^2+3 \ge 3$.
Le numérateur est donc toujours positif pour toutes les valeurs réelles de $x$.

L'inéquation est $\frac{(x+1)^2+3}{(x+3)(x-2)} < 0$.
Puisque le numérateur est toujours positif, pour que la fraction soit strictement négative, le dénominateur doit être strictement négatif.
Nous devons donc résoudre l'inéquation :

Les points critiques sont les valeurs de $x$ qui annulent les facteurs du dénominateur.
$x+3 = 0 \implies x = -3$
$x-2 = 0 \implies x = 2$

Les points critiques $-3$ et 2 divisent la droite numérique en trois intervalles : $(-\infty ; -3)$, $(-3 ; 2)$ et $(2 ; +\infty)$.

• Pour $x < -3$ (par exemple $x=-4$) : $(x+3)$ est négatif, $(x-2)$ est négatif. Le produit $(x+3)(x-2)$ est positif.
• Pour $-3 < x < 2$ (par exemple $x=0$) : $(x+3)$ est positif, $(x-2)$ est négatif. Le produit $(x+3)(x-2)$ est négatif.
• Pour $x > 2$ (par exemple $x=3$) : $(x+3)$ est positif, $(x-2)$ est positif. Le produit $(x+3)(x-2)$ est positif.

Le dénominateur $(x+3)(x-2)$ est négatif lorsque $x$ est dans l'intervalle $(-3 ; 2)$.
Par conséquent, l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'inéquation est vérifiée est :