This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: Analyser le numérateur de l'inéquation. Le numérateur est (x+1)^2+3. Puisque (x+1)^2 est toujours supérieur ou égal à 0 pour tout x R, on a (x+1)^2 0. Par conséquent, (x+1)^2+3 0+3, ce qui signifie que (x+1)^2+3 3. Le numérateur est donc toujours positif pour toutes les valeurs réelles de x. Step 2: Déterminer la condition sur le dénominateur. L'inéquation est ((x+1)^2+3)/((x+3)(x-2)) < 0. Puisque le numérateur est toujours positif, pour que la fraction soit strictement négative, le dénominateur doit être strictement négatif. Nous devons donc résoudre l'inéquation : (x+3)(x-2) < 0 Step 3: Trouver les points critiques du dénominateur. Les points critiques sont les valeurs de x qui annulent les facteurs du dénominateur. x+3 = 0 x = -3 x-2 = 0 x = 2 Step 4: Utiliser un tableau de signes pour résoudre l'inéquation (x+3)(x-2) < 0. Les points critiques -3 et 2 divisent la droite numérique en trois intervalles : (- ; -3), (-3 ; 2) et (2 ; +). • Pour x < -3 (par exemple x=-4) : (x+3) est négatif, (x-2) est négatif. Le produit (x+3)(x-2) est positif. • Pour -3 < x < 2 (par exemple x=0) : (x+3) est positif, (x-2) est négatif. Le produit (x+3)(x-2) est négatif. • Pour x > 2 (par exemple x=3) : (x+3) est positif, (x-2) est positif. Le produit (x+3)(x-2) est positif. Step 5: Conclure l'ensemble des valeurs de x. Le dénominateur (x+3)(x-2) est négatif lorsque x est dans l'intervalle (-3 ; 2). Par conséquent, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'inéquation est vérifiée est : -3 < x < 2 -3 < x < 2 That's 2 down. 3 left today — send the next one.