The vector equation of a line passing through the point (1, 3, 4) and parallel to the vector i + 2j + 2k is

Le point par lequel la droite passe est $P_0(1, 3, 4)$, ce qui correspond au vecteur position $\vec{r_0} = i + 3j + 4k$.
Le vecteur directeur de la droite est $\vec{v} = i - 2j + 2k$.

L'équation vectorielle d'une droite est donnée par $\vec{r} = \vec{r_0} + \lambda \vec{v}$, où $\lambda$ est un scalaire.
En substituant les valeurs :

La réponse est $\boxed{\text{C. } R = i + 3j + 4k + \lambda(i - 2j + 2k)}$.

Une relation est réflexive si $mRm$ pour tout $m \in \mathbb{N}$.
$mRm \implies m+m = 2m$ est impair.
Ceci est faux, car $2m$ est toujours un nombre pair. Par exemple, $1+1=2$ (pair), $2+2=4$ (pair).
Donc, la relation n'est pas réflexive.

Une relation est symétrique si $mRn \implies nRm$.
Si $mRn$, alors $m+n$ est impair.
Alors $n+m$ est aussi impair, car $n+m = m+n$.
Donc, la relation est symétrique.

Une relation est transitive si $mRn$ et $nRp \implies mRp$.
Si $mRn$, alors $m+n$ est impair. Cela signifie que l'un des nombres est pair et l'autre est impair.
Si $nRp$, alors $n+p$ est impair. Cela signifie que l'un des nombres est pair et l'autre est impair.
Prenons un exemple :
Soit $m=2$ (pair), $n=3$ (impair). Alors $m+n = 2+3=5$ est impair, donc $2R3$.
Soit $n=3$ (impair), $p=4$ (pair). Alors $n+p = 3+4=7$ est impair, donc $3R4$.
Maintenant, vérifions $mRp$: $m+p = 2+4=6$ est pair.
Puisque $m+p$ est pair, $mRp$ est faux.
Donc, la relation n'est pas transitive.

Une relation est anti-symétrique si $mRn$ et $nRm \implies m=n$.
Nous avons montré que la relation est symétrique.
Prenons $m=2$ et $n=3$. $m+n=5$ est impair, donc $2R3$. $n+m=5$ est impair, donc $3R2$.
Cependant, $2 \neq 3$.
Donc, la relation n'est pas anti-symétrique.

Conclusion: La relation est seulement symétrique.
La réponse est $\boxed{\text{B. Symmetric only}}$.

Pour une équation quadratique $ax^2+bx+c=0$, la somme des racines est $m+n = -\frac{b}{a}$ et le produit des racines est $mn = \frac{c}{a}$.
Pour $x^2 - 14x + k = 0$, on a $a=1, b=-14, c=k$.

De $3m = 4n$, on peut exprimer $m$ en fonction de $n$:

En utilisant $m = \frac{4}{3}n$:

En utilisant $k = mn$:

La réponse est $\boxed{\text{D. } 48}$.

La réponse est $\boxed{\text{D. } \frac{3}{2}}$.

Puisque les deux côtés de l'inégalité sont des valeurs absolues (donc non négatives), on peut les élever au carré sans changer le sens de l'inégalité.

Soustraire $x^2$ des deux côtés :

Ajouter $4x$ aux deux côtés :

La réponse est $\boxed{\text{A. } x > 1}$.

Le théorème stipule que $f(x) = Q(x)D(x) + R(x)$, où $Q(x)$ est le quotient, $D(x)$ est le diviseur et $R(x)$ est le reste.
Ici, $D(x) = x+1$, $Q(x) = 2x^2+x-2$, et $R(x) = 3$.

La réponse est $\boxed{\text{C. } 2x^3+3x^2-x+1}$.

Pour que la fraction $\frac{2}{3\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + 5}$ soit maximale, son dénominateur $3\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + 5$ doit être minimal.

La valeur minimale de la fonction sinus est $-1$.
Donc, $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$.

Le dénominateur minimal est $3(-1) + 5 = -3 + 5 = 2$.

L'équation $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$ a pour solution générale :

Ajouter $\frac{\pi}{3}$ aux deux côtés :

Mettre sur un dénominateur commun :

En prenant $n=0$, on obtient $\theta = \frac{11\pi}{6}$.
La réponse est $\boxed{\text{D. } \frac{11\pi}{6}}$.

Les points critiques sont les valeurs de $x$ pour lesquelles chaque facteur est nul :
$x-1 = 0 \implies x = 1$
$x-3 = 0 \implies x = 3$
$2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
Classons-les par ordre croissant : $-\frac{1}{2}, 1, 3$.

• Pour $x < -\frac{1}{2}$ (par exemple $x=-1$) : $(x-1)$ est négatif ($-2$) $(x-3)$ est négatif ($-4$) $(2x+1)$ est négatif ($-1$) Le produit est $(-)(-)(-) = -$ (négatif).
• Pour $-\frac{1}{2} < x < 1$ (par exemple $x=0$) : $(x-1)$ est négatif ($-1$) $(x-3)$ est négatif ($-3$) $(2x+1)$ est positif (1) Le produit est $(-)(-)(+) = +$ (positif).
• Pour $1 < x < 3$ (par exemple $x=2$) : $(x-1)$ est positif (1) $(x-3)$ est négatif ($-1$) $(2x+1)$ est positif (5) Le produit est $(+)(-)(+) = -$ (négatif).
• Pour $x > 3$ (par exemple $x=4$) : $(x-1)$ est positif (3) $(x-3)$ est positif (1) $(2x+1)$ est positif (9) Le produit est $(+)(+)(+) = +$ (positif).

Le produit est positif lorsque $-\frac{1}{2} < x < 1$ ou $x > 3$.
La réponse est $\boxed{\text{D. } -\frac{1}{2} < x < 1 \text{ ou } x > 3}$.

Prendre le logarithme naturel des deux côtés de l'équation :

Utiliser la propriété des logarithmes $\ln(a^b) = b \ln a$ :

Appliquer la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ au côté droit, avec $u = \sin x$ et $v = \ln x$.
$u' = \cos x$
$v' = \frac{1}{x}$

Multiplier les deux côtés par $y$ :

Substituer $y = x^{\sin x}$ :

La réponse est $\boxed{\text{D. } (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})y}$.

La matrice $A$ a 3 lignes et 2 colonnes, donc son ordre est $3 \times 2$.
La matrice $B$ a 3 lignes et 2 colonnes, donc son ordre est $3 \times 2$.

Pour que le produit $AB$ soit défini, le nombre de colonnes de la première matrice ($A$) doit être égal au nombre de lignes de la deuxième matrice ($B$).
Ici, le nombre de colonnes de $A$ est 2.
Le nombre de lignes de $B$ est 3.
Puisque $2 \neq 3$, le produit matriciel $AB$ n'est pas défini.
Aucune des options ne correspond à "indéfini". Il y a probablement une erreur dans la question ou les options. Si l'on devait choisir une option en supposant une erreur de transcription des matrices, les options $3 \times 3$ ou $2 \times 2$ seraient possibles si les matrices avaient des ordres différents (par exemple, $A_{3 \times 2}$ et $B_{2 \times 3}$ donnerait $AB_{3 \times 3}$, ou $A_{2 \times 3}$ et $B_{3 \times 2}$ donnerait $AB_{2 \times 2}$). Cependant, en se basant strictement sur les matrices données, le produit est indéfini.
La réponse est $\boxed{\text{Le produit AB est indéfini}}$.

Le mot est MANNA. Il y a 5 lettres au total.
M : 1 fois
A : 2 fois
N : 2 fois

Puisque les deux "A" doivent être ensemble, nous les considérons comme une seule unité (AA).
Maintenant, nous devons arranger les éléments suivants : (AA), M, N, N.
Il y a 4 éléments à arranger.

Parmi ces 4 éléments, la lettre "N" apparaît 2 fois.
Le nombre d'arrangements distincts est donné par la formule $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots}$, où $n$ est le nombre total d'éléments et $n_i$ est le nombre de répétitions de chaque élément.
Ici, $n=4$ (pour (AA), M, N, N) et $n_N=2$ (pour les deux N).

La réponse est $\boxed{\text{C. } 12}$.

La condition $f(x) = f(x+4k)$ signifie que la fonction $f$ est périodique avec une période de $4k$.
Puisque $F(x)$ est définie sur l'intervalle $[0, 4)$, cela suggère que la période de base est 4, ce qui correspond à $k=1$.

Nous voulons trouver $f(15)$. Puisque la période est 4, nous pouvons soustraire des multiples de 4 à 15 jusqu'à obtenir une valeur dans l'intervalle de définition $[0, 4)$.

Alternativement, on peut calculer $15 \pmod 4 = 3$. Donc $f(15) = f(3)$.

La valeur $x=3$ se trouve dans l'intervalle $2 \le x < 4$.
Donc, nous utilisons la deuxième partie de la définition de $F(x)$: $f(x) = 3x$.

La réponse est $\boxed{\text{D. } 9}$.

La proposition $q \implies p$ se lit "Si $q$, alors $p$".
En substituant les énoncés : "Si John joue, alors John mange."

A. Si John mange alors il ne joue pas ($p \implies \neg q$).
B. Si John mange alors il joue ($p \implies q$).
C. Si John ne joue pas alors il ne mangera pas ($\neg q \implies \neg p$).
D. Si John ne joue pas alors il mange ($\neg q \implies p$).
Aucune des options ne correspond à la proposition "Si John joue, alors John mange."
La réponse est $\boxed{\text{Aucune des options ne correspond à la proposition } q \implies p}$.