Étudier le signe du polynôme P(x) = x2 + 3x − 4 et déterminer l'ensemble des points M tels que MA * MB = x2 + 3x − 5, avec AB = 2.

Nous utilisons le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines de l'équation quadratique $ax^2 + bx + c = 0$.
Pour $P(x) = x^2 + 3x - 4$, nous avons $a=1$, $b=3$, $c=-4$.

$$\Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Le coefficient $a$ de $x^2$ est 1, qui est positif. Par conséquent, la parabole s'ouvre vers le haut.
Le signe de $P(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

$x$	$-\infty$	$-4$	1	$+\infty$
$P(x)$	$+$	0	$-$	0	$+$

• Si $x \in ]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[$, alors $P(x) > 0$.
• Si $x \in ]-4, 1[$, alors $P(x) < 0$.
• Si $x = -4$ ou $x = 1$, alors $P(x) = 0$.

2/ Détermination de l'ensemble des points M tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = x^2 + 3x - 5$, avec $AB = 2$

Soit O le milieu du segment $[AB]$.
La relation de Chasles nous donne $\vec{MA} = \vec{MO} + \vec{OA}$ et $\vec{MB} = \vec{MO} + \vec{OB}$.
Puisque O est le milieu de $[AB]$, nous avons $\vec{OB} = -\vec{OA}$.
Donc,

$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MO} + \vec{OA}) \cdot (\vec{MO} - \vec{OA})$$ $$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \vec{MO}^2 - \vec{OA}^2$$

La distance $OA$ est la moitié de $AB$. Puisque $AB = 2$, $OA = \frac{2}{2} = 1$.

$$OA^2 = (1)^2 = 1$$

Ainsi,

$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - 1$$

Nous avons l'égalité donnée: $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = x^2 + 3x - 5$.
En substituant l'expression du produit scalaire:

$$MO^2 - 1 = x^2 + 3x - 5$$ $$MO^2 = x^2 + 3x - 5 + 1$$ $$MO^2 = x^2 + 3x - 4$$

L'ensemble des points M dépend de la valeur de $x^2 + 3x - 4$.
Nous avons déjà étudié le signe de cette expression dans la partie 1.
Soit $R^2 = x^2 + 3x - 4$.

• Cas 1: $x^2 + 3x - 4 > 0$ Ceci se produit lorsque $x \in ]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[$. Dans ce cas, $MO^2 = R^2$ où $R = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$ est un rayon réel et positif. L'ensemble des points M est un cercle de centre O (milieu de $[AB]$) et de rayon $R$.

• Cas 2: $x^2 + 3x - 4 < 0$ Ceci se produit lorsque $x \in ]-4, 1[$. Dans ce cas, $MO^2$ serait négatif. Une distance au carré ne peut pas être négative. L'ensemble des points M est l'ensemble vide, $\emptyset$.

• Cas 3: $x^2 + 3x - 4 = 0$ Ceci se produit lorsque $x = -4$ ou $x = 1$. Dans ce cas, $MO^2 = 0$, ce qui signifie $MO = 0$. L'ensemble des points M est le point O (milieu de $[AB]$).

Réponses finales:

1/ Le signe de $P(x) = x^2 + 3x - 4$ est:

• $P(x) > 0$ pour $x \in \boxed{]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[}$
• $P(x) < 0$ pour $x \in \boxed{]-4, 1[}$
• $P(x) = 0$ pour $x \in \boxed{\{-4, 1\}}$

2/ L'ensemble des points M est:

• Si $x \in \boxed{]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[}$, l'ensemble des points M est un cercle de centre O (milieu de $[AB]$) et de rayon $R = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$.
• Si $x \in \boxed{]-4, 1[}$, l'ensemble des points M est l'ensemble vide $\emptyset$.
• Si $x \in \boxed{\{-4, 1\}}$, l'ensemble des points M est le point O (milieu de $[AB]$).