Using the formula for cos(A + B), the exact value of cos 75 degrees is Cos 4a - cos 6a = ? Given that x = sec 2t, y = tan 2t, dy/dx in terms of t is
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Using the formula for cos(A + B), the exact value of cos 75 degrees is Cos 4a - cos 6a = ? Given that x = sec 2t, y = tan 2t, dy/dx in terms of t is
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A. 41(6−2)
Voici les solutions détaillées pour chaque question :
Question 1 : Calculer la valeur exacte de cos(75∘) en utilisant la formule cos(A+B).
Step 1: Décomposer l'angle 75∘ en une somme de deux angles dont les valeurs trigonométriques sont connues.
On peut écrire 75∘=45∘+30∘.
Step 2: Appliquer la formule de la somme pour le cosinus.
La formule est cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB.
En substituant A=45∘ et B=30∘:
cos(75∘)=cos(45∘)cos(30∘)−sin(45∘)sin(30∘)
Step 3: Substituer les valeurs trigonométriques connues.
On sait que:
cos(45∘)=22sin(45∘)=22cos(30∘)=23sin(30∘)=21
D'où:
cos(75∘)=(22)(23)−(22)(21)
Step 4: Simplifier l'expression.
cos(75∘)=42⋅3−42⋅1cos(75∘)=46−42cos(75∘)=46−2
En comparant avec les options, cela correspond à l'option A.
La réponse est A.41(6−2).
Question 2 : Simplifier cos(4α)−cos(6α).
Step 1: Utiliser la formule de transformation de somme en produit pour le cosinus.
La formule est cosA−cosB=−2sin(2A+B)sin(2A−B).
Ici, A=4α et B=6α.
Step 2: Calculer les arguments des fonctions sinus.
2A+B=24α+6α=210α=5α2A−B=24α−6α=2−2α=−α
Step 3: Substituer ces arguments dans la formule.
cos(4α)−cos(6α)=−2sin(5α)sin(−α)
Step 4: Utiliser la propriété sin(−θ)=−sin(θ).
cos(4α)−cos(6α)=−2sin(5α)(−sin(α))cos(4α)−cos(6α)=2sin(5α)sin(α)
En comparant avec les options, cela correspond à l'option C.
La réponse est C.2sin(5α)sin(α).
Question 3 : Étant donné x=sec(2t) et y=tan(2t), trouver dxdy en fonction de t.
Step 1: Calculer dtdx.
On a x=sec(2t). La dérivée de sec(u) est sec(u)tan(u)⋅u′.
dtdx=dtd(sec(2t))=sec(2t)tan(2t)⋅dtd(2t)dtdx=sec(2t)tan(2t)⋅2=2sec(2t)tan(2t)
Step 2: Calculer dtdy.
On a y=tan(2t). La dérivée de tan(u) est sec2(u)⋅u′.
dtdy=dtd(tan(2t))=sec2(2t)⋅dtd(2t)dtdy=sec2(2t)⋅2=2sec2(2t)
Step 3: Utiliser la règle de la chaîne pour trouver dxdy.
dxdy=dx/dtdy/dtdxdy=2sec(2t)tan(2t)2sec2(2t)
Step 4: Simplifier l'expression.
On peut annuler 2sec(2t) au numérateur et au dénominateur:
dxdy=tan(2t)sec(2t)
Ensuite, exprimer sec(2t) et tan(2t) en termes de sin(2t) et cos(2t):
sec(2t)=cos(2t)1tan(2t)=cos(2t)sin(2t)
Donc:
dxdy=cos(2t)sin(2t)cos(2t)1=cos(2t)1⋅sin(2t)cos(2t)=sin(2t)1
Enfin, on sait que sin(u)1=csc(u):
dxdy=csc(2t)
En comparant avec les options, cela correspond à l'option B.
La réponse est B.csc(2t).
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Voici les solutions détaillées pour chaque question : Question 1 : Calculer la valeur exacte de (75^) en utilisant la formule (A+B). Step 1: Décomposer l'angle 75^ en une somme de deux angles dont les valeurs trigonométriques sont connues. On peut écrire 75^ = 45^ + 30^. Step 2: Appliquer la formule de la somme pour le cosinus. La formule est (A+B) = A B - A B. En substituant A = 45^ et B = 30^: (75^) = (45^)(30^) - (45^)(30^) Step 3: Substituer les valeurs trigonométriques connues. On sait que: (45^) = sqrt(2)2 (45^) = sqrt(2)2 (30^) = sqrt(3)2 (30^) = (1)/(2) D'où: (75^) = (sqrt(2)2)(sqrt(3)2) - (sqrt(2)2)((1)/(2)) Step 4: Simplifier l'expression. (75^) = sqrt(2) · sqrt(3)4 - sqrt(2) · 14 (75^) = sqrt(6)4 - sqrt(2)4 (75^) = sqrt(6) - sqrt(2)4 En comparant avec les options, cela correspond à l'option A. La réponse est A. (1)/(4)(sqrt(6) - sqrt(2)). Question 2 : Simplifier (4) - (6). Step 1: Utiliser la formule de transformation de somme en produit pour le cosinus. La formule est A - B = -2 ((A+B)/(2)) ((A-B)/(2)). Ici, A = 4 et B = 6. Step 2: Calculer les arguments des fonctions sinus. (A+B)/(2) = (4 + 6)/(2) = (10)/(2) = 5 (A-B)/(2) = (4 - 6)/(2) = (-2)/(2) = - Step 3: Substituer ces arguments dans la formule. (4) - (6) = -2 (5) (-) Step 4: Utiliser la propriété (-) = -(). (4) - (6) = -2 (5) (-()) (4) - (6) = 2 (5) () En comparant avec les options, cela correspond à l'option C. La réponse est C. 2(5)(). Question 3 : Étant donné x = (2t) et y = (2t), trouver (dy)/(dx) en fonction de t. Step 1: Calculer (dx)/(dt). On a x = (2t). La dérivée de (u) est (u)(u) · u'. (dx)/(dt) = (d)/(dt)((2t)) = (2t)(2t) · (d)/(dt)(2t) (dx)/(dt) = (2t)(2t) · 2 = 2(2t)(2t) Step 2: Calculer (dy)/(dt). On a y = (2t). La dérivée de (u) est ^2(u) · u'. (dy)/(dt) = (d)/(dt)((2t)) = ^2(2t) · (d)/(dt)(2t) (dy)/(dt) = ^2(2t) · 2 = 2^2(2t) Step 3: Utiliser la règle de la chaîne pour trouver (dy)/(dx). (dy)/(dx) = (dy/dt)/(dx/dt) (dy)/(dx) = (2^2(2t))/(2(2t)(2t)) Step 4: Simplifier l'expression. On peut annuler 2(2t) au numérateur et au dénominateur: (dy)/(dx) = ((2t))/((2t)) Ensuite, exprimer (2t) et (2t) en termes de (2t) et (2t): (2t) = (1)/((2t)) (2t) = ((2t))/((2t)) Donc: (dy)/(dx) = (1)/((2t))((2t))/((2t)) = (1)/((2t)) · ((2t))/((2t)) = (1)/((2t)) Enfin, on sait que (1)/((u)) = (u): (dy)/(dx) = (2t) En comparant avec les options, cela correspond à l'option B. La réponse est B. (2t). Envoie-moi la prochaine 📸
