माना Z, G समूह का केन्द्र है, तो समूह G से - पर परिमित समस्त आन्तरिक स्कारितओं का समुच्चय होता है -

प्रश्न में दिया गया है कि $Z$, समूह $G$ का केंद्र है। हमें समूह $G$ से $G$ पर परिभाषित समस्त आंतरिक स्वाकारिताओं (inner automorphisms) के समुच्चय के अवयवों की प्रकृति बतानी है।

एक आंतरिक स्वाकारिता $\phi_a: G \to G$ को किसी $a \in G$ के लिए $\phi_a(x) = axa^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $x \in G$।

हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या एक आंतरिक स्वाकारिता एक समाकारिता (homomorphism), एकैकी (injective), आच्छादक (surjective) या तुल्यकारिता (isomorphism) है।

• समाकारिता (Homomorphism): किसी भी $x, y \in G$ के लिए,

  $$\phi_a(xy) = a(xy)a^{-1} = (axa^{-1})(aya^{-1}) = \phi_a(x)\phi_a(y)$$

  अतः, $\phi_a$ एक समाकारिता है।

• एकैकी (Injective): मान लीजिए $\phi_a(x) = \phi_a(y)$।

  $$axa^{-1} = aya^{-1}$$

  दोनों तरफ बाईं ओर से $a^{-1}$ और दाईं ओर से $a$ से गुणा करने पर:

  $$a^{-1}(axa^{-1})a = a^{-1}(aya^{-1})a$$ $$(a^{-1}a)x(a^{-1}a) = (a^{-1}a)y(a^{-1}a)$$ $$exe = eye$$ $$x = y$$

  अतः, $\phi_a$ एकैकी है।

• आच्छादक (Surjective): $G$ में किसी भी $y$ के लिए, हमें $G$ में एक $x$ खोजना होगा जैसे कि $\phi_a(x) = y$। यदि हम $x = a^{-1}ya$ लेते हैं, तो $x \in G$।

  $$\phi_a(x) = \phi_a(a^{-1}ya) = a(a^{-1}ya)a^{-1} = (aa^{-1})y(aa^{-1}) = eye = y$$

  अतः, $\phi_a$ आच्छादक है।

चूंकि एक आंतरिक स्वाकारिता $\phi_a$ एक समाकारिता है, एकैकी है, और आच्छादक है, यह एक तुल्यकारिता (isomorphism) है। चूंकि यह $G$ से $G$ पर एक तुल्यकारिता है, यह एक स्वाकारिता (automorphism) भी है।

दिए गए विकल्पों में से, "केवल तुल्यकारिता" सबसे सटीक और व्यापक वर्णन है। यदि कोई फलन तुल्यकारिता है, तो वह समाकारिता, एकैकी समाकारिता और आच्छादक समाकारिता भी होता है। "केवल" शब्द का अर्थ है कि यह सबसे विशिष्ट और सही वर्गीकरण है।

The final answer is $\text{(2) केवल तुल्यकारिता}$.