This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: प्रश्न को समझें। प्रश्न पूर्णांकों के योज्य समूह (Z, +) में उपसमूह nZ के सभी विभिन्न सहसमुच्चयों (distinct cosets) की संख्या पूछ रहा है, जहाँ n N (प्राकृतिक संख्याएँ)। Step 2: सहसमुच्चय (Cosets) की अवधारणा को समझें। एक समूह G और उसके एक उपसमूह H के लिए, a G के लिए एक वाम सहसमुच्चय (left coset) aH = \ah h H\ होता है। योज्य समूह के लिए, यह a+H = \a+h h H\ होता है। यहाँ, G = Z (पूर्णांकों का समूह योग के तहत) और H = nZ = \nk k Z\ (पूर्णांकों के सभी गुणज n का उपसमूह)। Step 3: nZ के सहसमुच्चयों को ज्ञात करें। nZ के सहसमुच्चय a + nZ के रूप में होंगे, जहाँ a Z। हम जानते हैं कि पूर्णांकों के लिए विभाजन एल्गोरिथम (division algorithm) के अनुसार, किसी भी पूर्णांक a को a = qn + r के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है और 0 r < n। तो, a + nZ = (qn + r) + nZ = r + nZ क्योंकि qn nZ। इसका मतलब है कि प्रत्येक सहसमुच्चय a + nZ वास्तव में r + nZ के बराबर है, जहाँ r पूर्णांक a को n से विभाजित करने पर शेषफल है। Step 4: विभिन्न सहसमुच्चयों की संख्या निर्धारित करें। संभावित शेषफल 0, 1, 2, , n-1 हैं। इसलिए, nZ के विभिन्न सहसमुच्चय हैं: 0 + nZ = \nk k Z\ 1 + nZ = \1 + nk k Z\ 2 + nZ = \2 + nk k Z\ (n-1) + nZ = \(n-1) + nk k Z\ ये सभी n सहसमुच्चय एक दूसरे से भिन्न हैं। यदि r_1 + nZ = r_2 + nZ जहाँ 0 r_1, r_2 < n, तो इसका अर्थ है कि r_1 - r_2 nZ, यानी r_1 - r_2 n का एक गुणज है। चूंकि -(n-1) r_1 - r_2 n-1, तो r_1 - r_2 का एकमात्र गुणज 0 है। अतः r_1 = r_2। इसलिए, n विभिन्न सहसमुच्चय हैं। यह भागफल समूह Z/nZ का क्रम भी है, जो n के तुल्यकारी है। Step 5: सही विकल्प का चयन करें। दिए गए विकल्पों में से, n सही उत्तर है। The final answer is (3) n. अगला प्रश्न भेजें 📸