पूर्णांकों के योग्य समूह (Z, +) में nz के सभी विभिन्न सहसमुच्चयों की संख्या, (n ∈ N) के लिए, है

प्रश्न पूर्णांकों के योज्य समूह $(Z, +)$ में उपसमूह $nZ$ के सभी विभिन्न सहसमुच्चयों (distinct cosets) की संख्या पूछ रहा है, जहाँ $n \in N$ (प्राकृतिक संख्याएँ)।

एक समूह $G$ और उसके एक उपसमूह $H$ के लिए, $a \in G$ के लिए एक वाम सहसमुच्चय (left coset) $aH = \{ah \mid h \in H\}$ होता है। योज्य समूह के लिए, यह $a+H = \{a+h \mid h \in H\}$ होता है।
यहाँ, $G = Z$ (पूर्णांकों का समूह योग के तहत) और $H = nZ = \{nk \mid k \in Z\}$ (पूर्णांकों के सभी गुणज $n$ का उपसमूह)।

$nZ$ के सहसमुच्चय $a + nZ$ के रूप में होंगे, जहाँ $a \in Z$।
हम जानते हैं कि पूर्णांकों के लिए विभाजन एल्गोरिथम (division algorithm) के अनुसार, किसी भी पूर्णांक $a$ को $a = qn + r$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $q$ एक पूर्णांक है और $0 \le r < n$।
तो, $a + nZ = (qn + r) + nZ = r + nZ$ क्योंकि $qn \in nZ$।
इसका मतलब है कि प्रत्येक सहसमुच्चय $a + nZ$ वास्तव में $r + nZ$ के बराबर है, जहाँ $r$ पूर्णांक $a$ को $n$ से विभाजित करने पर शेषफल है।

संभावित शेषफल $0, 1, 2, \dots, n-1$ हैं।
इसलिए, $nZ$ के विभिन्न सहसमुच्चय हैं:
$0 + nZ = \{nk \mid k \in Z\}$
$1 + nZ = \{1 + nk \mid k \in Z\}$
$2 + nZ = \{2 + nk \mid k \in Z\}$
$\dots$
$(n-1) + nZ = \{(n-1) + nk \mid k \in Z\}$

ये सभी $n$ सहसमुच्चय एक दूसरे से भिन्न हैं। यदि $r_1 + nZ = r_2 + nZ$ जहाँ $0 \le r_1, r_2 < n$, तो इसका अर्थ है कि $r_1 - r_2 \in nZ$, यानी $r_1 - r_2$ $n$ का एक गुणज है। चूंकि $-(n-1) \le r_1 - r_2 \le n-1$, तो $r_1 - r_2$ का एकमात्र गुणज 0 है। अतः $r_1 = r_2$।
इसलिए, $n$ विभिन्न सहसमुच्चय हैं।

यह भागफल समूह $Z/nZ$ का क्रम भी है, जो $n$ के तुल्यकारी है।

दिए गए विकल्पों में से, $n$ सही उत्तर है।

The final answer is $\text{(3) n}$.