एक 1 kg द्रव्यमान के गुटके को 100 N/m स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जोड़ा गया है। गुटके को 45° के झुकाव वाले झुके हुए तल पर 10 cm विस्थापित किया जाता है। यदि गुटका विराम से शुरू होकर अंत में विराम

Step 1: दिए गए मानों को पहचानें।
द्रव्यमान ($m$) = 1 kg
स्प्रिंग नियतांक ($k$) = 100 N/m
विस्थापन ($d$) = 10 cm = 0.1 m
झुकाव कोण ($\theta$) = 45°
गुरुत्वीय त्वरण ($g$) = 10 m/s²

Step 2: ब्लॉक पर लगने वाले बलों का विश्लेषण करें।
झुकाव के लंबवत दिशा में, सामान्य बल ($N$) गुरुत्वाकर्षण के लंबवत घटक को संतुलित करता है:

$$N = mg \cos\theta$$

घर्षण बल ($f_k$) गति के विपरीत दिशा में कार्य करता है:

$$f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos\theta$$

Step 3: कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करें।
चूंकि गुटका विराम से शुरू होता है और अंत में विराम पर आता है, गतिज ऊर्जा में कुल परिवर्तन शून्य है ($\Delta KE = 0$)।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, सभी बलों द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होता है।

$$W_{गुरुत्वाकर्षण} + W_{स्प्रिंग} + W_{घर्षण} = \Delta KE$$ $$W_{गुरुत्वाकर्षण} = mgd \sin\theta$$ $$W_{स्प्रिंग} = -\frac{1}{2}kd^2$$ $$W_{घर्षण} = -f_k d = -\mu_k mgd \cos\theta$$

इन मानों को समीकरण में रखने पर:

$$mgd \sin\theta - \frac{1}{2}kd^2 - \mu_k mgd \cos\theta = 0$$

Step 4: घर्षण गुणांक ($\mu_k$) के लिए हल करें।

$$mgd \sin\theta - \frac{1}{2}kd^2 = \mu_k mgd \cos\theta$$ $$\mu_k = \frac{mgd \sin\theta - \frac{1}{2}kd^2}{mgd \cos\theta}$$ $$$$