Déterminer les accélérations tangentielle et normale de chaque mobile puis montrer que la norme de l'accélération du mobile M2 vaut a2.

L'accélération tangentielle, notée $a_t$, représente la composante de l'accélération qui est parallèle au vecteur vitesse. Elle est responsable du changement de la valeur de la vitesse (la vitesse scalaire).

$$a_t = \frac{dv}{dt}$$

où $v$ est la vitesse scalaire du mobile et $\frac{dv}{dt}$ est la dérivée de la vitesse scalaire par rapport au temps.

L'accélération normale (ou centripète), notée $a_n$, représente la composante de l'accélération qui est perpendiculaire au vecteur vitesse et dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire. Elle est responsable du changement de la direction du vecteur vitesse.

$$a_n = \frac{v^2}{R}$$

où $v$ est la vitesse scalaire du mobile et $R$ est le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant considéré.

Pour chaque mobile (M₁ et M₂), il faudrait connaître la fonction de sa vitesse scalaire $v(t)$ et le rayon de courbure $R(t)$ de sa trajectoire pour calculer ces accélérations. Sans ces informations spécifiques, nous ne pouvons fournir que les formules générales.

Le vecteur accélération totale $\vec{a}$ est la somme vectorielle de l'accélération tangentielle $\vec{a_t}$ et de l'accélération normale $\vec{a_n}$. Ces deux composantes sont orthogonales.

$$\vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n}$$

La norme de l'accélération totale est donnée par le théorème de Pythagore :

$$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$$

Pour le mobile M₂, si nous désignons sa vitesse scalaire par $v_2$ et le rayon de courbure de sa trajectoire par $R_2$, alors ses accélérations tangentielle et normale sont :

$$a_{t,M_2} = \frac{dv_2}{dt}$$ $$a_{n,M_2} = \frac{v_2^2}{R_2}$$

La norme de l'accélération totale du mobile M₂ est donc :

$$\|\vec{a}_{M_2}\| = \sqrt{\left(\frac{dv_2}{dt}\right)^2 + \left(\frac{v_2^2}{R_2}\right)^2}$$

Si la question stipule que la norme de l'accélération du mobile M₂ vaut $a_2$, cela signifie que $a_2$ est la notation utilisée pour représenter cette norme :

$$\boxed{a_2 = \sqrt{\left(\frac{dv_2}{dt}\right)^2 + \left(\frac{v_2^2}{R_2}\right)^2}}$$

Cette relation montre comment la norme de l'accélération totale $a_2$ est calculée à partir de ses composantes tangentielle et normale pour le mobile M₂.