Forces P and Q, resultant is doubled and doubled and resultant is -

माना दो बल $P$ और $Q$ के बीच का कोण $\theta$ है।
इन बलों के परिणामी $R$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$$

प्रश्न के अनुसार, प्रारंभिक परिणामी का परिमाण $P$ है।
इसलिए, $R = P$।
सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

$$P^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$$ $$0 = Q^2 + 2PQ \cos \theta$$

चूंकि $Q$ एक बल है, $Q \neq 0$। हम $Q$ से भाग दे सकते हैं:

$$0 = Q + 2P \cos \theta$$

इससे हमें $\cos \theta$ का मान मिलता है:

$$2P \cos \theta = -Q \quad \text{(समीकरण 1)}$$

प्रश्न के अनुसार, बल $P$ का परिमाण दोगुना कर दिया जाता है, तो नया बल $P' = 2P$ हो जाता है।
बल $Q$ अपरिवर्तित रहता है, तो $Q' = Q$।
बलों के बीच का कोण $\theta$ भी अपरिवर्तित रहता है।
माना नया परिणामी $R'$ है। इसका परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाएगा:

$$(R')^2 = (P')^2 + (Q')^2 + 2P'Q' \cos \theta$$

$P' = 2P$ और $Q' = Q$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$(R')^2 = (2P)^2 + Q^2 + 2(2P)(Q) \cos \theta$$ $$(R')^2 = 4P^2 + Q^2 + 4PQ \cos \theta$$

समीकरण 1 से, हम जानते हैं कि $2P \cos \theta = -Q$।
तो, $4PQ \cos \theta = 2Q (2P \cos \theta) = 2Q(-Q) = -2Q^2$।
इस मान को $(R')^2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

$$(R')^2 = 4P^2 + Q^2 - 2Q^2$$ $$(R')^2 = 4P^2 - Q^2$$

इसलिए, नए परिणामी का परिमाण है:

$$R' = \sqrt{4P^2 - Q^2}$$

माना नया परिणामी $R'$ बल $Q'$ (जो $Q$ के बराबर है) के साथ $\beta$ कोण बनाता है।
परिणामी के कोण का सूत्र है:

$$\tan \beta = \frac{P' \sin \theta}{Q' + P' \cos \theta}$$

$P' = 2P$ और $Q' = Q$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$\tan \beta = \frac{2P \sin \theta}{Q + 2P \cos \theta}$$

समीकरण 1 से, हम जानते हैं कि $Q + 2P \cos \theta = 0$।
इसलिए, हर (denominator) शून्य है:

$$\tan \beta = \frac{2P \sin \theta}{0}$$

चूंकि हर शून्य है, $\tan \beta$ अपरिभाषित है, जिसका अर्थ है कि $\beta = 90^\circ$।
इसका मतलब है कि नया परिणामी $R'$ बल $Q$ के लंबवत है।

हमने पाया कि नए परिणामी का परिमाण $\sqrt{4P^2 - Q^2}$ है और यह बल $Q$ के लंबवत है।
यह विकल्प (1) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{\text{(1) Q के लंबवत है तथा इसका परिमाण }\sqrt{4P^2 - Q^2}\text{ है।}}$.