Calculate the potential at the point P which is at a distance of 6mm & 10mm from two equal charges each of magnitude 24μC.

Voici les solutions aux questions posées.

1. Calcul du potentiel au point P

Le potentiel électrique $V$ dû à une charge ponctuelle $Q$ à une distance $r$ est donné par la formule $V = k \frac{Q}{r}$, où $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$. Le potentiel total en un point est la somme algébrique des potentiels dus à chaque charge.

• Étape 1: Convertir les unités et identifier les données. Les charges sont $Q_1 = Q_2 = 24 \, \mu\text{C} = 24 \times 10^{-6} \, \text{C}$. Les distances sont $r_1 = 6 \, \text{mm} = 6 \times 10^{-3} \, \text{m}$ et $r_2 = 10 \, \text{mm} = 10 \times 10^{-3} \, \text{m}$. La constante $k$ est donnée comme $8,89 \times 10^9$.

• Étape 2: Calculer le potentiel dû à chaque charge. Le potentiel $V_1$ dû à la première charge est :

  $$V_1 = k \frac{Q_1}{r_1} = (8,89 \times 10^9) \frac{24 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-3}}$$ $$V_1 = (8,89 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-3}) = 35,56 \times 10^6 \, \text{V}$$

  Le potentiel $V_2$ dû à la deuxième charge est :

  $$V_2 = k \frac{Q_2}{r_2} = (8,89 \times 10^9) \frac{24 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-3}}$$ $$V_2 = (8,89 \times 10^9) \times (2,4 \times 10^{-3}) = 21,336 \times 10^6 \, \text{V}$$

• Étape 3: Calculer le potentiel total au point P. Le potentiel total $V_P$ est la somme de $V_1$ et $V_2$ :

  $$V_P = V_1 + V_2 = 35,56 \times 10^6 \, \text{V} + 21,336 \times 10^6 \, \text{V}$$ $$V_P = 56,896 \times 10^6 \, \text{V} = 56,9 \times 10^6 \, \text{V}$$

  Le potentiel au point P est de $\boxed{\text{56,9 MV}}$.

2. Calcul du potentiel au point M

Similaire à la question 1, nous allons calculer le potentiel total en M en sommant les potentiels dus à chaque charge, en tenant compte du signe des charges.

• Étape 1: Convertir les unités et identifier les données. La charge positive est $Q_1 = 8 \, \mu\text{C} = 8 \times 10^{-6} \, \text{C}$ à une distance $r_1 = 5 \, \text{mm} = 5 \times 10^{-3} \, \text{m}$. La charge négative est $Q_2 = -12 \, \mu\text{C} = -12 \times 10^{-6} \, \text{C}$ à une distance $r_2 = 10 \, \text{mm} = 10 \times 10^{-3} \, \text{m}$. La constante $k = 8,89 \times 10^9$.

• Étape 2: Calculer le potentiel dû à chaque charge. Le potentiel $V_1$ dû à la charge positive est :

  $$V_1 = k \frac{Q_1}{r_1} = (8,89 \times 10^9) \frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-3}}$$ $$V_1 = (8,89 \times 10^9) \times (1,6 \times 10^{-3}) = 14,224 \times 10^6 \, \text{V}$$

  Le potentiel $V_2$ dû à la charge négative est :

  $$V_2 = k \frac{Q_2}{r_2} = (8,89 \times 10^9) \frac{-12 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-3}}$$ $$V_2 = (8,89 \times 10^9) \times (-1,2 \times 10^{-3}) = -10,668 \times 10^6 \, \text{V}$$

• Étape 3: Calculer le potentiel total au point M. Le potentiel total $V_M$ est la somme de $V_1$ et $V_2$ :

  $$V_M = V_1 + V_2 = 14,224 \times 10^6 \, \text{V} - 10,668 \times 10^6 \, \text{V}$$ $$V_M = 3,556 \times 10^6 \, \text{V}$$

  Le potentiel au point M est de $\boxed{\text{3,56 MV}}$.

3. Calcul de l'énergie potentielle électrostatique

L'énergie potentielle électrostatique $U$ d'une charge $Q$ placée dans un potentiel électrique $V$ est donnée par la formule $U = Q V$.

• Étape 1: Convertir les unités et identifier les données. La charge est $Q = 20 \, \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6} \, \text{C}$. Le potentiel est $V = 10 \, \text{mV} = 10 \times 10^{-3} \, \text{V}$.

• Étape 2: Calculer l'énergie potentielle électrostatique.

  $$U = Q V = (20 \times 10^{-6} \, \text{C}) \times (10 \times 10^{-3} \, \text{V})$$ $$U = 200 \times 10^{-9} \, \text{J} = 2 \times 10^{-7} \, \text{J}$$

  L'énergie potentielle électrostatique de la charge est de $\boxed{\text{200 nJ}}$.