المراحل الرياضية التي تندرج ضمن الجواب و حل التمرين دعها فقط أزل الشروحات التي تشرحها لي

حسناً، سأقدم الحلول مع المراحل الرياضية فقط.

التمرين 1: (4 نقاط)
لدينا جسم صلب يدور حول محور ثابت بتردد $f = 0.04 \text{ Hz}$. نقطة $M$ على هذا الجسم تصف مساراً دائرياً بنصف قطر $r = 20 \text{ cm}$. عند اللحظة $t = 1 \text{ s}$، تكون النقطة $M$ عند زاوية $\theta = 30^\circ$.

2) حساب دورة الحركة (Période du mouvement). (0,5 نقطة)

$$f = 0.04 \text{ Hz}$$ $$T = \frac{1}{f}$$ $$T = \frac{1}{0.04}$$ $$T = 25 \text{ s}$$

الدورة هي $\boxed{25 \text{ s}}$.

3) حساب قيمة السرعة الزاوية للحركة، وقيمة السرعة الخطية. (1 نقطة)

أ) حساب السرعة الزاوية ($\omega$)

$$f = 0.04 \text{ Hz}$$ $$\omega = 2\pi f$$ $$\omega = 2\pi \times 0.04$$ $$\omega = 0.08\pi \text{ rad/s}$$ $$\omega \approx 0.2513 \text{ rad/s}$$

السرعة الزاوية هي $\boxed{0.08\pi \text{ rad/s}}$ أو تقريباً $\boxed{0.2513 \text{ rad/s}}$.

ب) حساب السرعة الخطية ($v$)

$$r = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}$$ $$\omega = 0.08\pi \text{ rad/s}$$ $$v = r\omega$$ $$v = 0.20 \times 0.08\pi$$ $$v = 0.016\pi \text{ m/s}$$ $$v \approx 0.05026 \text{ m/s}$$

السرعة الخطية هي $\boxed{0.016\pi \text{ m/s}}$ أو تقريباً $\boxed{0.05026 \text{ m/s}}$.

4.2) تحديد عدد الدورات التي أكملتها النقطة $M$ عند اللحظة $t' = 25.13 \text{ s}$. (1 نقطة)

$$t' = 25.13 \text{ s}$$ $$\omega = 0.08\pi \text{ rad/s}$$ $$\theta_{total} = \omega t'$$ $$\theta_{total} = 0.08\pi \times 25.13$$ $$\theta_{total} = 2.0104\pi \text{ rad}$$ $$N = \frac{\theta_{total}}{2\pi}$$ $$N = \frac{2.0104\pi}{2\pi}$$ $$N = 1.0052 \text{ دورة}$$

عدد الدورات هو $\boxed{1.0052 \text{ دورة}}$.

4.3) في أي تاريخ تمر النقطة $M$ للمرة الثانية عبر أصل الإحداثيات الزاوية؟ (1 نقطة)

$$\theta(t) = \omega t + \theta_0'$$

عند $t=1 \text{ s}$, $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.

$$\frac{\pi}{6} = (0.08\pi)(1) + \theta_0'$$ $$\theta_0' = \frac{\pi}{6} - 0.08\pi$$ $$\theta_0' = \pi \left(\frac{1}{6} - \frac{8}{100}\right) = \pi \left(\frac{1}{6} - \frac{2}{25}\right)$$ $$\theta_0' = \pi \left(\frac{25 - 12}{150}\right) = \frac{13\pi}{150} \text{ rad}$$

المعادلة الزمنية للموضع الزاوي:

$$\theta(t) = 0.08\pi t + \frac{13\pi}{150}$$

للمرور الثاني عبر أصل الإحداثيات الزاوية (بعد المرور الأول عند $2\pi$):

$$\theta(t) = 4\pi$$ $$0.08\pi t + \frac{13\pi}{150} = 4\pi$$

نقسم على $\pi$:

$$0.08t + \frac{13}{150} = 4$$ $$0.08t = 4 - \frac{13}{150}$$ $$0.08t = \frac{600 - 13}{150}$$ $$0.08t = \frac{587}{150}$$ $$t = \frac{587}{150 \times 0.08}$$ $$t = \frac{587}{12}$$ $$t \approx 48.9167 \text{ s}$$

تاريخ المرور الثاني هو $\boxed{48.9167 \text{ s}}$.

أنجزت 2، وتبقّى 3 اليوم. أنت تتقدّم.