Q3. A charge Q is enclosed by a Guassian spherical surface of radius R. If the radius is doubled, then the outward electric flux will

गाउस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह (गाऊसी सतह) से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह के भीतर संलग्न कुल विद्युत आवेश के समानुपाती होता है, चाहे सतह का आकार या आकृति कुछ भी हो।

विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q_{enclosed}$ संलग्न आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है।

सूत्र से पता चलता है कि विद्युत फ्लक्स केवल संलग्न आवेश $Q$ और $\epsilon_0$ पर निर्भर करता है। यह गाऊसी सतह की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है, तो फ्लक्स वही रहेगा।

The final answer is $\boxed{\text{(c) Remain the same}}$

Q4. एक विद्युत द्विध्रुव को एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा गया है। द्विध्रुव अनुभव करेगा:

एक विद्युत द्विध्रुव में दो बराबर और विपरीत आवेश (+q और -q) होते हैं जो एक छोटी दूरी से अलग होते हैं। जब इसे एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो धनात्मक आवेश पर क्षेत्र की दिशा में एक बल ($F = qE$) लगता है, और ऋणात्मक आवेश पर क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक समान बल ($F = -qE$) लगता है।

चूंकि दोनों बल परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत हैं, इसलिए द्विध्रुव पर शुद्ध बल शून्य होता है। इसका मतलब है कि द्विध्रुव में कोई स्थानांतरीय विस्थापन (translational displacement) नहीं होगा।

हालांकि, ये दो बराबर और विपरीत बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं, जिससे एक बल-युग्म (couple) बनता है। यह बल-युग्म एक बलाघूर्ण (torque) उत्पन्न करता है जो द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र के साथ संरेखित करने की प्रवृत्ति रखता है।

इसलिए, द्विध्रुव एक बलाघूर्ण का अनुभव करेगा जो इसे बिना विस्थापन के घुमाएगा।

The final answer is $\boxed{\text{(c) A torque which will rotate it without displacement}}$

Q5. परावैद्युत स्थिरांक $k$ को चित्र (b) और (c) में दिखाए अनुसार डाला गया है। यदि $C_b$ और $C_c$ चित्र (b) और चित्र (c) में धारिता को दर्शाते हैं, तो:

चित्र (a) एक मानक समानांतर प्लेट संधारित्र है जिसमें प्लेटों के बीच हवा/निर्वात है।
इसकी धारिता $C_a = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।

चित्र (b) में, परावैद्युत स्थिरांक $k$ प्लेटों के बीच की आधी दूरी ($d/2$) को भरता है। इसे श्रेणी क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है:

• परावैद्युत के साथ संधारित्र: $C_1 = \frac{k \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2k \epsilon_0 A}{d}$
• हवा के साथ संधारित्र: $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ कुल धारिता $C_b$ के लिए:

चूंकि $k > 1$, $\frac{2k}{1+k} > 1$ (क्योंकि $2k > 1+k \implies k > 1$)। इसलिए, $C_b > C_a$।

चित्र (c) में, परावैद्युत स्थिरांक $k$ प्लेटों के बीच के आधे क्षेत्र ($A/2$) को भरता है। इसे समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है:

• परावैद्युत के साथ संधारित्र: $C_1 = \frac{k \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{k \epsilon_0 A}{2d}$
• हवा के साथ संधारित्र: $C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{2d}$ कुल धारिता $C_c$ के लिए:

चूंकि $k > 1$, $\frac{k+1}{2} > 1$ (क्योंकि $k+1 > 2 \implies k > 1$)। इसलिए, $C_c > C_a$।

हमें $\frac{2k}{1+k}$ और $\frac{k+1}{2}$ की तुलना करनी है।
यदि हम $(k-1)^2 > 0$ को देखें, जो $k \neq 1$ के लिए सत्य है:
$k^2 - 2k + 1 > 0$
$k^2 + 2k + 1 > 4k$
$(k+1)^2 > 4k$
$\frac{(k+1)^2}{2(1+k)} > \frac{4k}{2(1+k)}$
$\frac{k+1}{2} > \frac{2k}{1+k}$
इसलिए, $C_c > C_b$ (जब $k > 1$)।

हमारे विश्लेषण से पता चलता है कि $C_b > C_a$, $C_c > C_a$, और $C_c > C_b$।

• विकल्प (a) कहता है "Both $C_b, C_c > C_a$" (दोनों $C_b, C_c > C_a$)। यह सत्य है।
• विकल्प (b) कहता है "$C_b > C_a$ while $C_c > C_b$" ($C_b > C_a$ जबकि $C_c > C_b$)। यह भी सत्य है और अधिक विशिष्ट जानकारी प्रदान करता है।

चूंकि विकल्प (b) अधिक विस्तृत और सटीक जानकारी प्रदान करता है जो हमारे विश्लेषण से मेल खाती है, हम इसे चुनेंगे।

The final answer is $\boxed{\text{(b) } C_b > C_a \text{ while } C_c > C_b}$