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समान्तर में संयोजित दो प्रतिरोधों R1 व R2 के लिए, इनके तुल्य प्रतिरोध में सापेक्षिक त्रुटि है (जहाँ R1 = (10.0 +/- 0.1) तथा R2 = (20.0 +/- 0.4) )

Physics

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यहाँ समानांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों R1R_1 और R2R_2 के लिए समतुल्य प्रतिरोध में सापेक्षिक त्रुटि ज्ञात करनी है।

दिए गए मान हैं:
R1=(10.0±0.1) ΩR_1 = (10.0 \pm 0.1) \, \Omega
R2=(20.0±0.4) ΩR_2 = (20.0 \pm 0.4) \, \Omega

इसका अर्थ है:
R1=10.0 ΩR_1 = 10.0 \, \Omega और ΔR1=0.1 Ω\Delta R_1 = 0.1 \, \Omega
R2=20.0 ΩR_2 = 20.0 \, \Omega और ΔR2=0.4 Ω\Delta R_2 = 0.4 \, \Omega

समानांतर क्रम में समतुल्य प्रतिरोध ReqR_{eq} का सूत्र है:

1Req=1R1+1R2\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

या

Req=R1R2R1+R2R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}

सापेक्षिक त्रुटि की गणना के लिए, हम NCERT में दिए गए त्रुटि संयोजन के नियमों का उपयोग करेंगे।
यदि Z=A⋅BZ = A \cdot B या Z=A/BZ = A/B, तो सापेक्षिक त्रुटि ΔZZ=ΔAA+ΔBB\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} होती है।
यदि Z=A+BZ = A + B, तो निरपेक्ष त्रुटि ΔZ=ΔA+ΔB\Delta Z = \Delta A + \Delta B होती है।

  1. समतुल्य प्रतिरोध ReqR_{eq} की गणना करें।

    Req=10.0×20.010.0+20.0=20030.0=203 ΩR_{eq} = \frac{10.0 \times 20.0}{10.0 + 20.0} = \frac{200}{30.0} = \frac{20}{3} \, \Omega
  2. R1R2R_1 R_2 के गुणनफल में सापेक्षिक त्रुटि ज्ञात करें।

    R1R2R_1 R_2 के लिए सापेक्षिक त्रुटि है:

    Δ(R1R2)R1R2=ΔR1R1+ΔR2R2\frac{\Delta(R_1 R_2)}{R_1 R_2} = \frac{\Delta R_1}{R_1} + \frac{\Delta R_2}{R_2} Δ(R1R2)R1R2=0.110.0+0.420.0\frac{\Delta(R_1 R_2)}{R_1 R_2} = \frac{0.1}{10.0} + \frac{0.4}{20.0} Δ(R1R2)R1R2=0.01+0.02=0.03\frac{\Delta(R_1 R_2)}{R_1 R_2} = 0.01 + 0.02 = 0.03
  3. R1+R2R_1 + R_2 के योग में सापेक्षिक त्रुटि ज्ञात करें।

    R1+R2R_1 + R_2 के लिए निरपेक्ष त्रुटि है:

    Δ(R1+R2)=ΔR1+ΔR2=0.1+0.4=0.5 Ω\Delta(R_1 + R_2) = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 0.1 + 0.4 = 0.5 \, \Omega

    R1+R2R_1 + R_2 का मान है:

    R1+R2=10.0+20.0=30.0 ΩR_1 + R_2 = 10.0 + 20.0 = 30.0 \, \Omega

    R1+R2R_1 + R_2 के लिए सापेक्षिक त्रुटि है:

    Δ(R1+R2)R1+R2=0.530.0=160≈0.01666...\frac{\Delta(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2} = \frac{0.5}{30.0} = \frac{1}{60} \approx 0.01666...
  4. समतुल्य प्रतिरोध ReqR_{eq} में सापेक्षिक त्रुटि ज्ञात करें।

    चूंकि Req=R1R2R1+R2R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} एक भागफल है, इसलिए इसकी सापेक्षिक त्रुटि अंश और हर की सापेक्षिक त्रुटियों का योग होगी:

    ΔReqReq=Δ(R1R2)R1R2+Δ(R1+R2)R1+R2\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} = \frac{\Delta(R_1 R_2)}{R_1 R_2} + \frac{\Delta(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2} ΔReqReq=0.03+160\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} = 0.03 + \frac{1}{60} ΔReqReq=3100+160\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} = \frac{3}{100} + \frac{1}{60}

    सामान्य हर 300 लेकर:

    ΔReqReq=3×3100×3+1×560×5=9300+5300\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} = \frac{3 \times 3}{100 \times 3} + \frac{1 \times 5}{60 \times 5} = \frac{9}{300} + \frac{5}{300} ΔReqReq=9+5300=14300\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} = \frac{9+5}{300} = \frac{14}{300} ΔReqReq=7150\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} = \frac{7}{150} ΔReqReq≈0.04666...\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} \approx 0.04666...

    निकटतम मान तक पूर्णांकित करने पर, यह 0.05 है।

    अतः, सही विकल्प (2) है।

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