The resultant of A and B is perpendicular to A. What is the angle between A and B

दिया गया है कि सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का परिणामी $\vec{R}$ है, तो:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$$

प्रश्न में कहा गया है कि परिणामी $\vec{R}$ सदिश $\vec{A}$ के लंबवत है। इसका मतलब है कि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा:

$$\vec{R} \cdot \vec{A} = 0$$

$\vec{R}$ के लिए समीकरण को प्रतिस्थापित करें:

$$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{A} = 0$$ $$\vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{A} = 0$$

हम जानते हैं कि $\vec{A} \cdot \vec{A} = A^2$ (जहाँ $A$ सदिश $\vec{A}$ का परिमाण है) और $\vec{B} \cdot \vec{A} = AB \cos \theta$ (जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है)।

$$A^2 + AB \cos \theta = 0$$

समीकरण को $\cos \theta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:

$$AB \cos \theta = -A^2$$

यदि $A \neq 0$ है, तो हम $A$ से भाग दे सकते हैं:

$$B \cos \theta = -A$$ $$\cos \theta = -\frac{A}{B}$$

इसलिए, $\theta$ का मान है:

$$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{A}{B}\right)$$

यह विकल्प (1) से मेल खाता है।

अब हम जाँचते हैं कि क्या अन्य विकल्प भी इसी कोण को दर्शाते हैं।
यदि $\cos \theta = -\frac{A}{B}$ है, तो $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में होगा (क्योंकि $A$ और $B$ परिमाण हैं, वे धनात्मक हैं, इसलिए $-\frac{A}{B}$ ऋणात्मक है)। दूसरे चतुर्थांश में $\sin \theta$ धनात्मक होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करके:

$$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{A}{B}\right)^2 = 1 - \frac{A^2}{B^2} = \frac{B^2 - A^2}{B^2}$$ $$\sin \theta = \sqrt{\frac{B^2 - A^2}{B^2}} = \frac{\sqrt{B^2 - A^2}}{B}$$

इसलिए, $\theta$ का मान है:

$$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{B^2 - A^2}}{B}\right)$$

यह विकल्प (2) से मेल खाता है।

अब $\tan \theta$ के लिए:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{B^2 - A^2}}{B}}{-\frac{A}{B}} = -\frac{\sqrt{B^2 - A^2}}{A}$$

इसलिए, $\theta$ का मान है:

$$\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{B^2 - A^2}}{A}\right)$$

यह विकल्प (3) से मेल खाता है।

चूंकि सभी तीनों विकल्प एक ही कोण $\theta$ को व्यक्त करते हैं, इसलिए सही उत्तर "इनमें से सभी" होगा।

The final answer is $\text{All of these}$.