Un solide, bloqué initialement au sommet d'un plan incliné, est propulsé vers le bas avec une vitesse initiale vo = 5 m/s. Il est soumis à des forces de frottements de valeur constante. Il passe, quelques secondes après au point A, au bas du plan incliné avec une vitesse de valeur VA = 5,8 m/s.

Voici la résolution du problème de physique :

1- Détermine :

1.1- L'intensité de la force de frottement $f$, parallèle au plan AO et opposée au mouvement.
Pour déterminer la force de frottement, nous utilisons le théorème de l'énergie cinétique entre le point O et le point A.
L'énergie cinétique initiale est $E_{cO} = \frac{1}{2} m v_0^2$.
L'énergie cinétique finale est $E_{cA} = \frac{1}{2} m v_A^2$.
Les travaux des forces sont :

• Travail du poids : $W(\vec{P}) = m g \ell \sin \alpha$.
• Travail de la réaction normale : $W(\vec{R_N}) = 0$.
• Travail de la force de frottement : $W(\vec{f}) = -f \ell$.

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : $\Delta E_c = \sum W_{forces}$

$$\frac{1}{2} m v_A^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = m g \ell \sin \alpha - f \ell$$

On isole $f$ :

$$f = m g \sin \alpha - \frac{m (v_A^2 - v_0^2)}{2 \ell}$$

Substitution des valeurs ($m = 500 \text{ g} = 0,5 \text{ kg}$, $v_0 = 5 \text{ m/s}$, $v_A = 5,8 \text{ m/s}$, $\ell = 1,2 \text{ m}$, $\alpha = 50^\circ$, $g = 10 \text{ m/s}^2$) :

$$f = (0,5)(10) \sin(50^\circ) - \frac{(0,5)((5,8)^2 - (5)^2)}{2 \times 1,2}$$ $$f = 5 \times 0,7660 - \frac{0,5 \times (33,64 - 25)}{2,4}$$ $$f = 3,830 - \frac{0,5 \times 8,64}{2,4}$$ $$f = 3,830 - \frac{4,32}{2,4}$$ $$f = 3,830 - 1,8$$ $$f = \boxed{2,03 \text{ N}}$$

1.2- La valeur R de la réaction du plan.
La réaction du plan $\vec{R}$ est la somme vectorielle de la réaction normale $\vec{R_N}$ et de la force de frottement $\vec{f}$. Ces deux forces sont perpendiculaires.
L'intensité de la réaction du plan est donnée par :

$$R = \sqrt{R_N^2 + f^2}$$

On utilise la valeur donnée $R_N = 1,8 \text{ N}$ et la valeur calculée $f = 2,03 \text{ N}$ :

$$R = \sqrt{(1,8 \text{ N})^2 + (2,03 \text{ N})^2}$$ $$R = \sqrt{3,24 + 4,1209}$$ $$R = \sqrt{7,3609}$$ $$R \approx \boxed{2,71 \text{ N}}$$

2- Détermine :

2.1- L'accélération $a_x$, supposée constante du centre d'inertie G du solide.
Puisque l'accélération est constante, nous pouvons utiliser l'équation cinématique :

$$v_A^2 = v_0^2 + 2 a_x \ell$$

On isole $a_x$ :

$$a_x = \frac{v_A^2 - v_0^2}{2 \ell}$$

Substitution des valeurs :

$$a_x = \frac{(5,8 \text{ m/s})^2 - (5 \text{ m/s})^2}{2 \times 1,2 \text{ m}}$$ $$a_x = \frac{33,64 - 25}{2,4}$$ $$a_x = \frac{8,64}{2,4}$$ $$a_x = \boxed{3,6 \text{ m/s}^2}$$

2.2- La durée $\Delta t$ du parcours OA.
On utilise l'équation cinématique :

$$v_A = v_0 + a_x \Delta t$$

On isole $\Delta t$ :

$$\Delta t = \frac{v_A - v_0}{a_x}$$

Substitution des valeurs :

$$\Delta t = \frac{5,8 \text{ m/s} - 5 \text{ m/s}}{3,6 \text{ m/s}^2}$$ $$\Delta t = \frac{0,8}{3,6}$$ $$\Delta t = \frac{2}{9} \text{ s}$$ $$\Delta t \approx \boxed{0,22 \text{ s}}$$

3- Établis l'équation horaire du mouvement du solide, en prenant le point O comme origine des espaces et l'instant où le solide quitte ce point comme origine des dates.
L'équation horaire de la position pour un mouvement rectiligne uniformément varié est :

$$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_x t^2$$

Avec $x_0 = 0$, $v_0 = 5 \text{ m/s}$ et $a_x = 3,6 \text{ m/s}^2$ :

$$x(t) = 0 + 5 t + \frac{1}{2} (3,6) t^2$$ $$\boxed{x(t) = 1,8 t^2 + 5 t}$$

L'équation horaire de la vitesse est :

$$v(t) = v_0 + a_x t$$ $$\boxed{v(t) = 3,6 t + 5}$$