Déterminer une équation de la droite (L) passant par E et perpendiculaire à la droite (D). 2. Placer le point E et construire les droites (D) et (L). 1. Justifier que : mes igwedge EMF = 60^.

EXERCICE 3

1. Déterminer une équation de la droite (L) passant par E et perpendiculaire à la droite (D).

   Step 1: Déterminer la pente de la droite (D).
   L'équation de la droite (D) est $y = -\frac{3}{2}x + 1$. La pente de (D) est $m_D = -\frac{3}{2}$.

   Step 2: Déterminer la pente de la droite (L).
   Puisque (L) est perpendiculaire à (D), le produit de leurs pentes est $-1$.

   $$m_L \times m_D = -1$$ $$m_L \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$$ $$m_L = \frac{2}{3}$$

   Step 3: Déterminer l'équation de la droite (L).
   La droite (L) a pour équation $y = m_L x + p$, soit $y = \frac{2}{3}x + p$.
   Le point E(3; -2) appartient à (L), donc ses coordonnées vérifient l'équation:

   $$-2 = \frac{2}{3}(3) + p$$ $$-2 = 2 + p$$ $$p = -4$$

   L'équation de la droite (L) est donc $\boxed{y = \frac{2}{3}x - 4}$.

2. Placer le point E et construis les droites (D) et (L) sur ta feuille de copie (prends 1 cm pour unité). Ceci est une tâche de construction graphique qui ne peut pas être effectuée ici.

EXERCICE 4

1. Justifie que : $mes \widehat{EMF} = 60^\circ$. Les angles inscrits $\widehat{ENF}$ et $\widehat{EMF}$ interceptent le même arc $\widehat{EF}$ dans le cercle (C). Par propriété des angles inscrits, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Puisque $mes \widehat{ENF} = 60^\circ$, alors $mes \widehat{EMF} = \boxed{60^\circ}$.

2. Calcule $mes \widehat{EOF}$. L'angle $\widehat{EOF}$ est l'angle au centre qui intercepte l'arc $\widehat{EF}$. L'angle inscrit $\widehat{ENF}$ intercepte également le même arc $\widehat{EF}$. La mesure de l'angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

   $$mes \widehat{EOF} = 2 \times mes \widehat{ENF}$$ $$mes \widehat{EOF} = 2 \times 60^\circ$$ $$mes \widehat{EOF} = \boxed{120^\circ}$$

EXERCICE 5

On donne le polynôme $N = (2x+1)(8-5x) - 2(3-x)(2x+1)$ et la fraction rationnelle $F = \frac{N}{(2x+1)(x+1)}$.

1. Justifie que : $N = (2x+1)(2-3x)$.

   Step 1: Factoriser N par le facteur commun $(2x+1)$.

   $$N = (2x+1)[(8-5x) - 2(3-x)]$$

   Step 2: Simplifier l'expression entre crochets.

   $$N = (2x+1)[8-5x - 6 + 2x]$$ $$N = (2x+1)[(8-6) + (-5x+2x)]$$ $$N = (2x+1)[2-3x]$$

   L'expression est bien $\boxed{N = (2x+1)(2-3x)}$.

2. a) Détermine les valeurs de x pour lesquelles F existe. La fraction F existe si son dénominateur est non nul.

   $$(2x+1)(x+1) \neq 0$$

   Ceci implique que $2x+1 \neq 0$ ET $x+1 \neq 0$.

   $$2x+1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{2}$$ $$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$$

   F existe pour toutes les valeurs de $x$ telles que $\boxed{x \neq -\frac{1}{2} \text{ et } x \neq -1}$.

   b) Simplifie F.

   Step 1: Substituer l'expression simplifiée de N dans F.

   $$F = \frac{(2x+1)(2-3x)}{(2x+1)(x+1)}$$

   Step 2: Simplifier en annulant le facteur commun $(2x+1)$ (pour $x \neq -\frac{1}{2}$).

   $$F = \boxed{\frac{2-3x}{x+1}}$$

3. a) Justifie que pour $x = \sqrt{3}$, on a : $F = \frac{5\sqrt{3}-11}{2}$.

   Step 1: Substituer $x = \sqrt{3}$ dans l'expression simplifiée de F.

   $$F = \frac{2-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$$

   Step 2: Rationaliser le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $\sqrt{3}-1$.

   $$$$