Donner une représentation paramétrique de (D) et une équation cartésienne de (D') sachant que (D) a pour équation cartésienne 2x − 3y + 6 = 0 et que (D') passe par A(4, 2) et a pour vecteur directeur

Bien sûr, Hamza ! Voici les solutions détaillées pour chaque exercice, en français et en suivant la méthode des leçons que tu as envoyées.

---

EX1 : Droites

a) Donner une représentation paramétrique de (D)

La droite (D) a pour équation cartésienne $2x - 3y + 6 = 0$.
Un vecteur normal à (D) est $\vec{n}(2, -3)$.
Un vecteur directeur $\vec{u}$ de (D) est orthogonal à $\vec{n}$, donc on peut prendre $\vec{u}(3, 2)$.
Pour trouver un point sur la droite (D), on peut choisir $x=0$.
$2(0) - 3y + 6 = 0 \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y = 2$.
Donc, le point $P_D(0, 2)$ appartient à (D).
La représentation paramétrique de (D) est donnée par:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$$

En utilisant le point $P_D(0, 2)$ et le vecteur directeur $\vec{u}(3, 2)$:

$$\boxed{ \begin{cases} x = 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} }$$

b) Donner une équation cartésienne de (D')

La droite (D') passe par le point $A(4, 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{V}(-2, 4)$.
Un vecteur normal $\vec{n'}$ à (D') est orthogonal à $\vec{V}$. On peut prendre $\vec{n'}(4, 2)$.
L'équation cartésienne de (D') est de la forme $ax + by + c = 0$. En utilisant $\vec{n'}(4, 2)$, on a $4x + 2y + c = 0$.
Le point $A(4, 2)$ appartient à (D'), donc ses coordonnées vérifient l'équation:
$4(4) + 2(2) + c = 0$
$16 + 4 + c = 0$
$20 + c = 0 \Rightarrow c = -20$.
L'équation cartésienne de (D') est $4x + 2y - 20 = 0$.
On peut simplifier cette équation en divisant par 2:

$$\boxed{ 2x + y - 10 = 0 }$$

c) Montrer que (D) et (D') sont sécantes en un point dont on détermine les coordonnées

Pour montrer que les droites (D) et (D') sont sécantes, il faut vérifier que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Vecteur directeur de (D) est $\vec{u}(3, 2)$.
Vecteur directeur de (D') est $\vec{V}(-2, 4)$.
Calculons le déterminant de ces deux vecteurs:
$\det(\vec{u}, \vec{V}) = (3)(4) - (2)(-2) = 12 - (-4) = 12 + 4 = 16$.
Puisque $\det(\vec{u}, \vec{V}) = 16 \neq 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{V}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites (D) et (D') sont sécantes.

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection, nous devons résoudre le système d'équations formé par les équations cartésiennes de (D) et (D'):

$$\begin{cases} 2x - 3y + 6 = 0 \quad (1) \\ 2x + y - 10 = 0 \quad (2) \end{cases}$$

De l'équation (2), on peut exprimer $y$ en fonction de $x$:
$y = 10 - 2x$.
Substituons cette expression de $y$ dans l'équation (1):
$2x - 3(10 - 2x) + 6 = 0$
$2x - 30 + 6x + 6 = 0$
$8x - 24 = 0$
$8x = 24$
$x = \frac{24}{8} = 3$.
Maintenant, substituons la valeur de $x$ dans l'expression de $y$:
$y = 10 - 2(3) = 10 - 6 = 4$.
Le point d'intersection est $I(3, 4)$.

$$\text{Les droites (D) et (D') sont sécantes au point } \boxed{ I(3, 4) }$$

---

EX2 : Compléter le tableau suivant

Voici le tableau complété avec les valeurs exactes des fonctions trigonométriques:

$x$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$-\frac{\pi}{6}$
$\sin x$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$
$\cos x$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0