Étudier la continuité des fonctions suivantes au point indiqué. 1. f(x)= ", sujet": "Mathematics" } 2x-1 si x1, f(1)=1, et a=1.

La valeur de la fonction au point $a=1$ est donnée:

$$f(1) = 1$$

La fonction est définie en $x=1$.

Pour $x \neq 1$, nous pouvons simplifier l'expression de $f(x)$:

$$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$$

Le numérateur est une identité remarquable: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

$$f(x) = \frac{(x-1)^2}{x - 1}$$

Puisque $x \neq 1$, $x-1 \neq 0$, nous pouvons simplifier par $(x-1)$:

$$f(x) = x - 1$$

Maintenant, calculons la limite:

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 1)$$ $$\lim_{x \to 1} f(x) = 1 - 1$$ $$\lim_{x \to 1} f(x) = 0$$

Nous avons trouvé $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$ et $f(1) = 1$.
Puisque $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ ($0 \neq 1$), la fonction $f(x)$ n'est pas continue en $a=1$.

La fonction $f(x)$ est non continue en $a=1$.

2. Étude de la continuité de $g(x)$ au point $a=2$.
La fonction est définie par $g(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 4}{x - 2}$ si $x \in [-2, 2[ \cup ]2, +\infty[$, et $g(2) = \frac{5}{2}$.

La valeur de la fonction au point $a=2$ est donnée:

$$g(2) = \frac{5}{2}$$

La fonction est définie en $x=2$.

Pour $x \neq 2$, $g(x) = \frac{\sqrt{x+2} - 4}{x - 2}$.
Évaluons le numérateur et le dénominateur lorsque $x \to 2$:
Numérateur: $\sqrt{2+2} - 4 = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$.
Dénominateur: $2 - 2 = 0$.
La limite est de la forme $\frac{-2}{0}$. Cela indique que la limite n'est pas un nombre fini.
Calculons les limites unilatérales:
Pour $x \to 2^+$ (valeurs de $x$ légèrement supérieures à 2):
Le numérateur tend vers $-2$.
Le dénominateur $x-2$ tend vers $0^+$ (un nombre positif très petit).

$$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$

Pour $x \to 2^-$ (valeurs de $x$ légèrement inférieures à 2):
Le numérateur tend vers $-2$.
Le dénominateur $x-2$ tend vers $0^-$ (un nombre négatif très petit).

$$\lim_{x \to 2^-} g(x) = \frac{-2}{0^-} = +\infty$$

Puisque les limites à gauche et à droite sont différentes (et infinies), la limite $\lim_{x \to 2} g(x)$ n'existe pas.

Puisque $\lim_{x \to 2} g(x)$ n'existe pas, la fonction $g(x)$ n'est pas continue en $a=2$.

La fonction $g(x)$ est non continue en $a=2$.