Calculer le champ électrique et le potentiel électrostatique pour une sphère chargée avec une densité de charge volumique ho(r) = eta r.

Voici les expressions du champ électrique et du potentiel électrostatique, suivies de la description de leurs tracés.

1. Expressions du champ et potentiel électrostatiques

• Densité de charge volumique : $\rho(r) = \beta r$

• Charge interne $Q_{int}(r)$ : La charge contenue dans une sphère de rayon $r$ est donnée par l'intégrale de la densité de charge sur le volume :

  $$Q_{int}(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r (\beta r') 4\pi r'^2 dr' = 4\pi \beta \int_0^r r'^3 dr' = 4\pi \beta \left[ \frac{r'^4}{4} \right]_0^r = \pi \beta r^4$$

• Champ électrique $E(r)$ : En utilisant le théorème de Gauss pour une surface sphérique de rayon $r$ : $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$. Par symétrie, $E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$.

  • Pour $r \le R$ (à l'intérieur de la sphère) :

    $$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \beta r^4}{\epsilon_0} \implies E(r) = \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0}$$

  • Pour $r > R$ (à l'extérieur de la sphère) : La charge totale de la sphère est $Q_{total} = Q_{int}(R) = \pi \beta R^4$.

    $$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \beta R^4}{\epsilon_0} \implies E(r) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2}$$

  Les expressions du champ électrique sont :

  $$\boxed{E(r) = \begin{cases} \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0} & \text{pour } r \le R \\ \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2} & \text{pour } r > R \end{cases}}$$

• Potentiel électrostatique $V(r)$ : On utilise la relation $E(r) = -\frac{dV}{dr}$ et on fixe $V(\infty) = 0$.

  • Pour $r > R$ (à l'extérieur de la sphère) :

    $$-\frac{dV}{dr} = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2} \implies V(r) = \int -\frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2} dr = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r} + C_1$$

    Avec $V(\infty) = 0$, on a $C_1 = 0$.

    $$V(r) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r}$$

  • Pour $r \le R$ (à l'intérieur de la sphère) :

    $$-\frac{dV}{dr} = \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0} \implies V(r) = \int -\frac{\beta r^2}{4\epsilon_0} dr = -\frac{\beta r^3}{12\epsilon_0} + C_2$$

    Le potentiel doit être continu en $r=R$. $V_{intérieur}(R) = V_{extérieur}(R)$

    $$-\frac{\beta R^3}{12\epsilon_0} + C_2 = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 R} = \frac{\beta R^3}{4\epsilon_0}$$ $$C_2 = \frac{\beta R^3}{4\epsilon_0} + \frac{\beta R^3}{12\epsilon_0} = \frac{3\beta R^3 + \beta R^3}{12\epsilon_0} = \frac{4\beta R^3}{12\epsilon_0} = \frac{\beta R^3}{3\epsilon_0}$$ $$V(r) = \frac{\beta R^3}{3\epsilon_0} - \frac{\beta r^3}{12\epsilon_0}$$

  Les expressions du potentiel électrostatique sont :

  $$\boxed{V(r) = \begin{cases} \frac{\beta R^3}{3\epsilon_0} - \frac{\beta r^3}{12\epsilon_0} & \text{pour } r \le R \\ \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r} & \text{pour } r > R \end{cases}}$$

2. Tracé des courbes du champ et potentiel électrostatiques

Pour tracer les courbes, nous allons analyser le comportement des fonctions $E(r)$ et $V(r)$ en fonction de $r$.

• Courbe du champ électrique $E(r)$ :
  • Pour $r \le R$ : $E(r) = \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0}$. C'est une fonction parabolique qui part de $E(0) = 0$ et augmente avec $r^2$.
  • **À $r