Consider a small bob hanging freely to a string whose free end is attached to a fixed-support. If the bob is set into periodic oscillation, use dimensional analysis to derive the formula for the period of oscillation of the system.

Kipindi cha mzunguko ($T$) kinaweza kutegemea:

• Masi ya bob ($m$)
• Urefu wa kamba ($l$)
• Mchapuko wa mvutano ($g$)

• Kipindi ($T$): $[T]$
• Masi ($m$): $[M]$
• Urefu ($l$): $[L]$
• Mchapuko wa mvutano ($g$): $[L T^{-2}]$

Tuchukulie kuwa $T$ inategemea $m$, $l$, na $g$ kwa namna ifuatayo:

ambapo $k$ ni kigezo kisicho na vipimo, na $a, b, c$ ni vizidisho tunavyotaka kupata.

Upande wa kushoto: $[T]$
Upande wa kulia: $[M]^a [L]^b [L T^{-2}]^c = [M^a L^{b+c} T^{-2c}]$

Kwa kulinganisha vipimo vya pande zote mbili, tunapata:

Kulinganisha vizidisho vya vipimo vya msingi ($M, L, T$):
Kwa $M$: $a = 0$
Kwa $L$: $b + c = 0 \implies b = -c$
Kwa $T$: $1 = -2c \implies c = -\frac{1}{2}$

Sasa, badilisha thamani ya $c$ kwenye mlinganyo wa $b$:
$b = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Tukiweka $a=0$, $b=\frac{1}{2}$, na $c=-\frac{1}{2}$ kwenye fomula ya jumla:

Kutoka kwa uchambuzi wa vipimo, hatuwezi kupata thamani ya kigezo kisicho na vipimo $k$. Hata hivyo, tunajua kutokana na nadharia ya pendulum rahisi kwamba $k = 2\pi$.
Hivyo, fomula kamili ni: