Déterminer la position du centre de gravité G d'une demi-circonférence, d'un demi-disque, et d'une demi-sphère de rayon R et de centre O.

La demi-circonférence est située dans le demi-plan supérieur ($y \ge 0$) et est symétrique par rapport à l'axe des $y$. Par conséquent, la coordonnée $x_G$ du centre de gravité est nulle : $x_G = 0$.
Nous devons calculer $y_G$. La formule générale pour le centre de masse d'une ligne avec une masse linéique $\lambda$ est :

$$y_G = \frac{\int y \, dm}{\int dm} = \frac{\int y \, \lambda \, dl}{\int \lambda \, dl} = \frac{\int y \, dl}{\int dl}$$

où $dl$ est un élément de longueur.

En coordonnées polaires, pour un élément de longueur $dl$ sur la circonférence, nous avons $x = R \cos \theta$, $y = R \sin \theta$, et $dl = R \, d\theta$.
La demi-circonférence s'étend de $\theta = 0$ à $\theta = \pi$.

• Calcul de la longueur totale ($L = \int dl$) : $$L = \int_0^{\pi} R \, d\theta = R [\theta]_0^{\pi} = R(\pi - 0) = \pi R$$
• Calcul du moment par rapport à l'axe des x ($\int y \, dl$) : $$\int y \, dl = \int_0^{\pi} (R \sin \theta) (R \, d\theta) = R^2 \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta$$ $$= R^2 [-\cos \theta]_0^{\pi} = R^2 (-\cos \pi - (-\cos 0)) = R^2 (-(-1) - (-1)) = R^2 (1+1) = 2R^2$$

$$y_G = \frac{2R^2}{\pi R} = \frac{2R}{\pi}$$

La position du centre de gravité $G$ est :

$$\boxed{G = \left(0, \frac{2R}{\pi}\right)}$$

2. Demi-disque de rayon $R$ (Figure 2)

Le demi-disque est situé dans le demi-plan supérieur ($y \ge 0$) et est symétrique par rapport à l'axe des $y$. Par conséquent, $x_G = 0$.
Nous devons calculer $y_G$. La formule générale pour le centre de masse d'une surface avec une masse surfacique $\sigma$ est :

$$y_G = \frac{\int y \, dm}{\int dm} = \frac{\int y \, \sigma \, dA}{\int \sigma \, dA} = \frac{\int y \, dA}{\int dA}$$

où $dA$ est un élément d'aire.

En coordonnées polaires, pour un élément d'aire $dA$, nous avons $dA = r \, dr \, d\theta$, et $y = r \sin \theta$.
Le demi-disque s'étend de $r = 0$ à $r = R$ et de $\theta = 0$ à $\theta = \pi$.

• Calcul de l'aire totale ($A = \int dA$) : $$A = \int_0^{\pi} \int_0^R r \, dr \, d\theta = \int_0^{\pi} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R \, d\theta = \int_0^{\pi} \frac{R^2}{2} \, d\theta$$ $$= \frac{R^2}{2} [\theta]_0^{\pi} = \frac{R^2}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi R^2}{2}$$
• Calcul du moment par rapport à l'axe des x ($\int y \, dA$) : $$\int y \, dA = \int_0^{\pi} \int_0^R (r \sin \theta) r \, dr \, d\theta = \int_0^{\pi} \sin \theta \left( \int_0^R r^2 \, dr \right) \, d\theta$$ $$= \int_0^{\pi} \sin \theta \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R \, d\theta = \int_0^{\pi} \frac{R^3}{3} \sin \theta \, d\theta$$ $$= \frac{R^3}{3} [-\cos \theta]_0^{\pi} = \frac{R^3}{3} (-\cos \pi - (-\cos 0)) = \frac{R^3}{3} (1+1) = \frac{2R^3}{3}$$

$$y_G = \frac{\frac{2R^3}{3}}{\frac{\pi R^2}{2}} = \frac{2R^3}{3} \times \frac{2}{\pi R^2} = \frac{4R}{3\pi}$$

La position du centre de gravité $G$ est :

$$\boxed{G = \left(0, \frac{4R}{3\pi}\right)}$$

3. Demi-sphère de rayon $R$ (Figure 3)

La demi-sphère est située dans le demi-espace supérieur ($y \ge 0$) et est symétrique par rapport à l'axe des $y$. Par conséquent, $x_G = 0$ et $z_G = 0$.
Nous devons calculer $y_G$. La formule générale pour le centre de masse d'un volume avec une masse volumique $\rho$ est :

$$y_G = \frac{\int y \, dm}{\int dm} = \frac{\int y \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV} = \frac{\int y \, dV}{\int dV}$$

où $dV$ est un élément de volume.

En coordonnées sphériques, pour un élément de volume $dV$, nous avons $dV = r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta$.
Pour une demi-sphère dont l'axe de symétrie est l'axe des $y$ et qui est dans le demi-espace $y \ge 0$, les coordonnées sont $y = r \cos \phi$.
Les limites d'intégration sont : $r \in [0, R]$, $\phi \in [0, \pi/2]$ (angle par rapport à l'axe $y$), et $\theta \in [0, 2\pi]$ (angle azimutal autour de l'axe $y$).

• Calcul du volume total ($V = \int dV$) : $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^R r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta$$ $$= \left( \int_0^R r^2 \, dr \right) \left( \int_0^{\pi/2} \sin \phi \, d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right)$$ $$= \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R \left[ -\cos \phi \right]_0^{\pi/2} \left[ \theta \right]_0^{2\pi}$$ $$= \left( \frac{R^3}{3} \right) (-\cos(\pi/2) - (-\cos 0)) (2\pi - 0)$$ $$= \left( \frac{R^3}{3} \right) (0 - (-1)) (2\pi) = \frac{R^3}{3} \cdot 1 \cdot 2\pi = \frac{2\pi R^3}{3}$$
• Calcul du moment par rapport au plan xz ($\int y \, dV$) : $$\int y \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^R (r \cos \phi) (r^2 \sin \phi) \, dr \, d\phi \, d\theta$$ $$= \left( \int_0^R r^3 \, dr \right) \left( \int_0^{\pi/2} \cos \phi \sin \phi \, d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right)$$ $$= \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R \left[ \frac{\sin^2 \phi}{2} \right]_0^{\pi/2} \left[ \theta \right]_0^{2\pi}$$ $$= \left( \frac{R^4}{4} \right) \left( \frac{\sin^2(\pi/2)}{2} - \frac{\sin^2 0}{2} \right) (2\pi)$$ $$= \left( \frac{R^4}{4} \right) \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right) (2\pi) = \frac{R^4}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \frac{\pi R^4}{4}$$

$$y_G = \frac{\frac{\pi R^4}{4}}{\frac{2\pi R^3}{3}} = \frac{\pi R^4}{4} \times \frac{3}{2\pi R^3} = \frac{3R}{8}$$

La position du centre de gravité $G$ est :

$$\boxed{G = \left(0, \frac{3R}{8}, 0\right)}$$