Calculer le champ électrique et le potentiel électrostatiques pour une sphère de rayon R avec densité de…

Question

Calculer le champ électrique et le potentiel électrostatiques pour une sphère de rayon R avec densité de charge volumique ho = eta r.

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Voici la solution pour l'Exercice 3, question 1.

Exercice 3, question 1 : Expressions du champ et potentiel électrostatiques pour une sphère avec densité de charge $\rho = \beta r$ .

La sphère a un centre $O$ , un rayon $R$ et une densité de charge volumique $\rho(r) = \beta r$ , où $r$ est la distance par rapport au centre $O$ . En raison de la symétrie sphérique, le champ électrique $\vec{E}$ est radial et le potentiel $V$ ne dépend que de $r$ .

Calcul du champ électrique $\vec{E}(r)$ en utilisant le théorème de Gauss.
Nous utilisons une surface de Gauss sphérique de rayon $r_g$ centrée en $O$ . Le théorème de Gauss s'écrit $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$ .

a) À l'intérieur de la sphère ( $r < R$ )
La charge interne $Q_{int}$ est calculée en intégrant la densité de charge sur le volume de la sphère de rayon $r$ :
$Q_{int} = \int_0^r \rho(r') dV = \int_0^r (\beta r') (4\pi r'^2 dr') = 4\pi \beta \int_0^r r'^3 dr'$ $Q_{int} = 4\pi \beta \left[ \frac{r'^4}{4} \right]_0^r = \pi \beta r^4$
En appliquant le théorème de Gauss :
$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \beta r^4}{\epsilon_0}$ $E(r) = \frac{\pi \beta r^4}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0}$
Le champ électrique est donc :
$\vec{E}(r) = \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0} \hat{u}_r \quad \text{pour } r < R$
b) À l'extérieur de la sphère ( $r \ge R$ )
La charge totale $Q_{total}$ de la sphère est calculée en intégrant la densité de charge sur tout le volume de la sphère de rayon $R$ :
$Q_{total} = \int_0^R \rho(r') dV = \int_0^R (\beta r') (4\pi r'^2 dr') = 4\pi \beta \int_0^R r'^3 dr'$ $Q_{total} = 4\pi \beta \left[ \frac{r'^4}{4} \right]_0^R = \pi \beta R^4$
En appliquant le théorème de Gauss pour $r \ge R$ :
$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{total}}{\epsilon_0} = \frac{\pi \beta R^4}{\epsilon_0}$ $E(r) = \frac{\pi \beta R^4}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2}$
Le champ électrique est donc :
$\vec{E}(r) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2} \hat{u}_r \quad \text{pour } r \ge R$
Calcul du potentiel électrostatique $V(r)$ .
Nous utilisons la relation $E(r) = -\frac{dV}{dr}$ et la condition $V(\

Calculer le champ électrique et le potentiel électrostatiques pour une sphère de rayon R avec densité de charge volumique ho = eta r.

Step-by-step solution

Calcul du champ électrique $\vec{E}(r)$ en utilisant le théorème de Gauss.

Calcul du potentiel électrostatique $V(r)$ .

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