Donner les coordonnées du vecteur position du mobile Mà un instant de date t

Les coordonnées du vecteur position $\vec{OM}$ sont :

$$\boxed{ \begin{cases} x(t) = t-1 \\ y(t) = t^2+1 \end{cases} }$$

2. Justification de la trajectoire, coordonnées et module des vecteurs vitesse et accélération

• Justification de la trajectoire (parabole)

À partir de l'équation de $x(t)$, on a :

$$x = t-1 \implies t = x+1$$

En remplaçant $t$ dans l'expression de $y(t)$ :

$$y = (x+1)^2 + 1$$ $$y = x^2 + 2x + 1 + 1$$ $$\boxed{ y = x^2 + 2x + 2 }$$

Cette équation est de la forme $y = ax^2 + bx + c$ avec $a=1$, $b=2$ et $c=2$. Il s'agit de l'équation d'une parabole.

• Coordonnées et module du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$

Le vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ est la dérivée du vecteur position $\vec{OM}(t)$ par rapport au temps :

$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{d}{dt}((t-1)\vec{i} + (t^2+1)\vec{j})$$

Les coordonnées du vecteur vitesse sont :

$$\begin{cases} v_x(t) = \frac{d(t-1)}{dt} = 1 \\ v_y(t) = \frac{d(t^2+1)}{dt} = 2t \end{cases}$$

D'où le vecteur vitesse :

$$\boxed{ \vec{v}(t) = 1\vec{i} + 2t\vec{j} }$$

Le module du vecteur vitesse est :

$$||\vec{v}(t)|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1^2 + (2t)^2}$$ $$\boxed{ ||\vec{v}(t)|| = \sqrt{1 + 4t^2} }$$

• Coordonnées et module du vecteur accélération $\vec{a}(t)$

Le vecteur accélération $\vec{a}(t)$ est la dérivée du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ par rapport au temps :

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(1\vec{i} + 2t\vec{j})$$

Les coordonnées du vecteur accélération sont :

$$\begin{cases} a_x(t) = \frac{d(1)}{dt} = 0 \\ a_y(t) = \frac{d(2t)}{dt} = 2 \end{cases}$$

D'où le vecteur accélération :

$$\boxed{ \vec{a}(t) = 0\vec{i} + 2\vec{j} = 2\vec{j} }$$

Le module du vecteur accélération est :

$$||\vec{a}(t)|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + 2^2}$$ $$\boxed{ ||\vec{a}(t)|| = 2 }$$

3. Composantes du vecteur accélération dans la base de Frenet et rayon de courbure

• Composantes de l'accélération dans la base de Frenet

L'accélération tangentielle est la dérivée du module de la vitesse par rapport au temps :

$$a_T = \frac{d||\vec{v}||}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{1 + 4t^2}) = \frac{d}{dt}((1 + 4t^2)^{1/2})$$ $$a_T = \frac{1}{2}(1 + 4t^2)^{-1/2} \cdot (8t)$$ $$\boxed{ a_T = \frac{4t}{\sqrt{1 + 4t^2}} }$$

L'accélération normale peut être calculée à partir du module de l'accélération totale et de l'accélération tangentielle :

$$a_N = \sqrt{||\vec{a}||^2 - a_T^2}$$ $$a_N = \sqrt{2^2 - \left(\frac{4t}{\sqrt{1 + 4t^2}}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{16t^2}{1 + 4t^2}}$$ $$a_N = \sqrt{\frac{4(1 + 4t^2) - 16t^2}{1 + 4t^2}} = \sqrt{\frac{4 + 16t^2 - 16t^2}{1 + 4t^2}}$$ $$a_N = \sqrt{\frac{4}{1 + 4t^2}}$$ $$\boxed{ a_N = \frac{2}{\sqrt{1 + 4t^2}} }$$

• Rayon de courbure $R$ de la trajectoire à l'instant de date $t$

Le rayon de courbure $R$ est donné par la formule $a_N = \frac{||\vec{v}||^2}{R}$, d'où $R = \frac{||\vec{v}||^2}{a_N}$.

$$R = \frac{(\sqrt{1 + 4t^2})^2}{\frac{2}{\sqrt{1 + 4t^2}}}$$ $$R = \frac{1 + 4t^2}{\frac{2}{\sqrt{1 + 4t^2}}}$$ $$R = \frac{(1 + 4t^2)\sqrt{1 + 4t^2}}{2}$$ $$\boxed{ R = \frac{(1 + 4t^2)^{3/2}}{2} }$$