Ecrire l'équation horaire du mouvement du mobile M Donnez l'expression de la vitesse entantence et de…

Question

Ecrire l'équation horaire du mouvement du mobile M Donnez l'expression de la vitesse entantence et de l'accélératio instantannée calculer la vitesse maximale A quelle instant ou le mobile M passe à l'alsusse x = - 2 cm Dinner l'équato de ulla du mobile H

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Voici la résolution de l'exercice. Exercice 5 Le mobile M est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal (MRS) avec les caractéristiques suivantes (issues de l'Exercice 4) : Amplitude X_m = 4 cm = 0.04 m; Période T = 1.5 s; Pulsation ω = (2π)/(T) = (2π)/(1.5) = (4π)/(3) rad · s⁻¹; Conditions initiales : À t=0, le mobile est à la position d'équilibre (x(0)=0) et se déplace dans le sens positif (v(0)>0). 1) Écrire l'équation horaire du mouvement du mobile M : Step 1: L'équation générale d'un MRS est x(t) = X_m cos(ω t + φ). Step 2: Utilisons les conditions initiales pour trouver la phase initiale φ. À t=0, x(0) = X_m cos(φ) = 0. Cela implique φ = ± (π)/(2). Step 3: La vitesse instantanée est v(t) = dx/dt = −X_m ω sin(ω t + φ). À t=0, v(0) = −X_m ω sin(φ). Puisque v(0) > 0 et X_m ω > 0, il faut que sin(φ) < 0. Step 4: Si φ = (π)/(2), sin(φ) = 1 > 0. Si φ = −(π)/(2), sin(φ) = −1 < 0. Donc, φ = −(π)/(2). Step 5: L'équation horaire est x(t) = X_m cos(ω t − (π)/(2)), ce qui est équivalent à x(t) = X_m sin(ω t). Substituons les valeurs de X_m et ω. x(t) = 0.04 sin((4π)/(3)t) m 2) Donnez l'expression de la vitesse instantanée et de l'accélération instantanée : Step 1: La vitesse instantanée v(t) est la dérivée de x(t) par rapport au temps. v(t) = dx/dt = d/dt(0.04 sin((4π)/(3)t)) = 0.04 × (4π)/(3) cos((4π)/(3)t); v(t) = (0.16π)/(3) cos((4π)/(3)t) m · s⁻¹ Step 2: L'accélération instantanée a(t) est la dérivée de v(t) par rapport au temps. a(t) = dv/dt = d/dt((0.16π)/(3) cos((4π)/(3)t)) = (0.16π)/(3) × (−(4π)/(3)) sin((4π)/(3)t); a(t) = −(0.64π²)/(9) sin((4π)/(3)t) m · s⁻² 3) Calculer la vitesse maximale Vmax : Step 1: La vitesse maximale est l'amplitude de la fonction cosinus dans l'expression de v(t). Vmax = X_m ω Step 2: Substituons les valeurs de X_m et ω. Vmax = 0.04 m × (4π)/(3) rad · s⁻¹ = (0.16π)/(3) m · s⁻¹ Step 3: Calculons la valeur numérique. Vmax ≈ (0.16 × 3.14159)/(3) ≈ 0.1676 m · s⁻¹ Vmax ≈ 0.1676 m · s⁻¹ 4) À quelle instant le mobile M passe par l'abscisse x = 2 cm pour la première fois ? Step 1: Convertissons l'abscisse en mètres : x = 2 cm = 0.02 m. Step 2: Utilisons l'équation horaire x(t) = 0.04 sin((4π)/(3)t). 0.02 = 0.04 sin((4π)/(3)t) Step 3: Simplifions l'équation. sin((4π)/(3)t) = 0.02/0.04 = 1/2; Step 4: La plus petite valeur positive de l'angle θ pour laquelle sin(θ) = 1/2 est θ = (π)/(6). (4π)/(3)t = (π)/(6) Step 5: Résolvons pour t. t = (π)/(6) × (3)/(4π) = (3π)/(24π) = 1/8 s; t = 1/8 s 5) Donner l'équation différentielle du mobile M : Step 1: Pour un mouvement harmonique simple, l'accélération est proportionnelle et opposée au déplacement : a(t) = −ω² x(t). Step 2: En remplaçant a(t) par (d²x)/(dt²), on obtient l'équation différentielle. (d²x)/(dt²) = −ω² x; (d²x)/(dt²) + ω² x = 0; Step 3: Substituons la valeur de ω = (4π)/(3). (d²x)/(dt²) + ((4π)/(3))² x = 0; (d²x)/(dt²) + (16π²)/(9) x = 0

Ecrire l'équation horaire du mouvement du mobile M Donnez l'expression de la vitesse entantence et de l'accélératio instantannée calculer la vitesse maximale A quelle instant ou le mobile M passe à l'alsusse x = - 2 cm Dinner l'équato de ulla du mobile H

Step-by-step solution

L'équation générale d'un MRS est $x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi)$ .

Utilisons les conditions initiales pour trouver la phase initiale $\phi$ .

La vitesse instantanée est $v(t) = \frac{dx}{dt} = -X_m \omega \sin(\omega t + \phi)$ .

Si $\phi = \frac{\pi}{2}$ , $\sin(\phi) = 1 > 0$ .

L'équation horaire est $x(t) = X_m \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)$ , ce qui est équivalent à $x(t) = X_m \sin(\omega t)$ .

La vitesse instantanée $v(t)$ est la dérivée de $x(t)$ par rapport au temps.

L'accélération instantanée $a(t)$ est la dérivée de $v(t)$ par rapport au temps.

La vitesse maximale est l'amplitude de la fonction cosinus dans l'expression de $v(t)$ .

Substituons les valeurs de $X_m$ et $\omega$ .

Calculons la valeur numérique.

Convertissons l'abscisse en mètres

Utilisons l'équation horaire $x(t) = 0.04 \sin\left(\frac{4\pi}{3}t\right)$ .

Simplifions l'équation.

La plus petite valeur positive de l'angle $\theta$ pour laquelle $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ est $\theta = \frac{\pi}{6}$ .

Résolvons pour $t$ .

Pour un mouvement harmonique simple, l'accélération est proportionnelle et opposée au déplacement

En remplaçant $a(t)$ par $\frac{d^2x}{dt^2}$ , on obtient l'équation différentielle.

Substituons la valeur de $\omega = \frac{4\pi}{3}$ .

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Step-by-step solution

L'équation générale d'un MRS est x(t)=Xmcos⁡(ωt+ϕ)x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi)x(t)=Xm​cos(ωt+ϕ).

Utilisons les conditions initiales pour trouver la phase initiale ϕ\phiϕ.

La vitesse instantanée est v(t)=dxdt=−Xmωsin⁡(ωt+ϕ)v(t) = \frac{dx}{dt} = -X_m \omega \sin(\omega t + \phi)v(t)=dtdx​=−Xm​ωsin(ωt+ϕ).

Si ϕ=π2\phi = \frac{\pi}{2}ϕ=2π​, sin⁡(ϕ)=1>0\sin(\phi) = 1 > 0sin(ϕ)=1>0.

L'équation horaire est x(t)=Xmcos⁡(ωt−π2)x(t) = X_m \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)x(t)=Xm​cos(ωt−2π​), ce qui est équivalent à x(t)=Xmsin⁡(ωt)x(t) = X_m \sin(\omega t)x(t)=Xm​sin(ωt).

La vitesse instantanée v(t)v(t)v(t) est la dérivée de x(t)x(t)x(t) par rapport au temps.

L'accélération instantanée a(t)a(t)a(t) est la dérivée de v(t)v(t)v(t) par rapport au temps.

La vitesse maximale est l'amplitude de la fonction cosinus dans l'expression de v(t)v(t)v(t).

Substituons les valeurs de XmX_mXm​ et ω\omegaω.

Calculons la valeur numérique.

Convertissons l'abscisse en mètres

Utilisons l'équation horaire x(t)=0.04sin⁡(4π3t)x(t) = 0.04 \sin\left(\frac{4\pi}{3}t\right)x(t)=0.04sin(34π​t).

Simplifions l'équation.

La plus petite valeur positive de l'angle θ\thetaθ pour laquelle sin⁡(θ)=12\sin(\theta) = \frac{1}{2}sin(θ)=21​ est θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}θ=6π​.

Résolvons pour ttt.

Pour un mouvement harmonique simple, l'accélération est proportionnelle et opposée au déplacement

En remplaçant a(t)a(t)a(t) par d2xdt2\frac{d^2x}{dt^2}dt2d2x​, on obtient l'équation différentielle.

Substituons la valeur de ω=4π3\omega = \frac{4\pi}{3}ω=34π​.

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L'équation générale d'un MRS est $x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi)$ .

Utilisons les conditions initiales pour trouver la phase initiale $\phi$ .

La vitesse instantanée est $v(t) = \frac{dx}{dt} = -X_m \omega \sin(\omega t + \phi)$ .

Si $\phi = \frac{\pi}{2}$ , $\sin(\phi) = 1 > 0$ .

L'équation horaire est $x(t) = X_m \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)$ , ce qui est équivalent à $x(t) = X_m \sin(\omega t)$ .

La vitesse instantanée $v(t)$ est la dérivée de $x(t)$ par rapport au temps.

L'accélération instantanée $a(t)$ est la dérivée de $v(t)$ par rapport au temps.

La vitesse maximale est l'amplitude de la fonction cosinus dans l'expression de $v(t)$ .

Substituons les valeurs de $X_m$ et $\omega$ .

Utilisons l'équation horaire $x(t) = 0.04 \sin\left(\frac{4\pi}{3}t\right)$ .

La plus petite valeur positive de l'angle $\theta$ pour laquelle $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ est $\theta = \frac{\pi}{6}$ .

Résolvons pour $t$ .

En remplaçant $a(t)$ par $\frac{d^2x}{dt^2}$ , on obtient l'équation différentielle.

Substituons la valeur de $\omega = \frac{4\pi}{3}$ .