Solve in simple way

दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ होने पर उनके परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$|\vec{R}|^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$$

जहाँ $A$ और $B$ सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिमाण हैं।

प्रश्न में दिया गया है कि परिणामी सदिश का परिमाण $\sqrt{A^2+B^2}$ है।
तो, $|\vec{R}| = \sqrt{A^2+B^2}$.
इसे सूत्र में रखने पर:

$$(\sqrt{A^2+B^2})^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$$ $$A^2 + B^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$$

समीकरण को सरल करें:

$$A^2 + B^2 - (A^2 + B^2) = 2AB \cos \theta$$ $$0 = 2AB \cos \theta$$

चूंकि $A$ और $B$ सदिशों के परिमाण हैं, वे आमतौर पर शून्य नहीं होते हैं। इसलिए, $2AB \neq 0$.
इसका मतलब है कि $\cos \theta$ को शून्य होना चाहिए:

$$\cos \theta = 0$$

यदि $\cos \theta = 0$ है, तो $\theta$ का मान होगा:

$$\theta = 90^\circ \quad \text{या} \quad \frac{\pi}{2} \text{ रेडियन}$$

अतः, सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\mathbf{90^\circ}$ है।