On the basis of Kirchhoff's laws determine the values for the currents: r=0.5 and R=0.5 .

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Ili kutatua mzunguko huu kwa kutumia Sheria za Kirchhoff, tutatumia mbinu ya mesh current analysis. Tutafafanua mikondo mitatu ya mesh, $I_1$ , $I_2$ , na $I_3$ , zote zikizunguka kwa mwelekeo wa saa (clockwise) kama inavyoonyeshwa na mishale kwenye mchoro.

Kutoka kwenye mchoro na maelezo:

Kwenye kitanzi cha kushoto: Chanzo cha voltage $V_1 = 12\text{V}$ , upinzani wa ndani $r = 0.5\Omega$ , na upinzani wa nje $R = 0.5\Omega$ . Jumla ya upinzani katika tawi hili ni $1\Omega$ .
Kwenye tawi la kati: Chanzo cha voltage $V_2 = 1.5\text{V}$ , na upinzani $R_2 = 2\Omega$ .
Kwenye tawi la kulia: Kuna upinzani $R_3$ . Thamani ya $R_3$ haijatolewa wazi, lakini kwa kuwa ni sehemu ya mzunguko, tutaiacha kama $R_3$ na kuona kama inahitajika.

Andika milinganyo ya KVL kwa kila kitanzi (mesh).
- KVL kwa Kitanzi cha Kushoto (Mesh 1, mkondo $I_1$ ): Kuanzia kona ya chini kushoto na kuzunguka kwa mwelekeo wa saa: Tunapita chanzo cha $12\text{V}$ kutoka hasi kwenda chanya (voltage rise), kwa hivyo $+12\text{V}$ . Tunapita upinzani wa $1\Omega$ (jumla ya $r+R$ ) katika mwelekeo wa $I_1$ (voltage drop), kwa hivyo $-I_1(1\Omega)$ . Tunapita upinzani wa $2\Omega$ (unashirikiwa na $I_2$ ) katika mwelekeo wa $I_1$ (voltage drop), kwa hivyo $-2\Omega(I_1 - I_2)$ . Tunapita chanzo cha $1.5\text{V}$ (unashirikiwa na $I_2$ ) kutoka chanya kwenda hasi (voltage drop), kwa hivyo $-1.5\text{V}$ .
  $12 - 1I_1 - 2(I_1 - I_2) - 1.5 = 0$ $12 - I_1 - 2I_1 + 2I_2 - 1.5 = 0$ $-3I_1 + 2I_2 = 1.5 - 12$ $-3I_1 + 2I_2 = -10.5 \quad \text{(Equation 1)}$
- KVL kwa Kitanzi cha Kati (Mesh 2, mkondo $I_2$ ): Kuanzia katikati chini na kuzunguka kwa mwelekeo wa saa: Tunapita chanzo cha $1.5\text{V}$ (unashirikiwa na $I_1$ ) kutoka hasi kwenda chanya (voltage rise), kwa hivyo $+1.5\text{V}$ . Tunapita upinzani wa $2\Omega$ (unashirikiwa na $I_1$ ) katika mwelekeo wa $I_2$ (voltage drop), kwa hivyo $-2\Omega(I_2 - I_1)$ . Tunapita upinzani wa $R_3$ (unashirikiwa na $I_3$ ) katika mwelekeo wa $I_2$ (voltage drop), kwa hivyo $-R_3(I_2 - I_3)$ .
  $1.5 - 2(I_2 - I_1) - R_3(I_2 - I_3) = 0$ $1.5 - 2I_2 + 2I_1 - R_3 I_2 + R_3 I_3 = 0$ $2I_1 - (2+R_3)I_2 + R_3 I_3 = -1.5 \quad \text{(Equation 2)}$
- KVL kwa Kitanzi cha Kulia (Mesh 3, mkondo $I_3$ ): Kuanzia kona ya chini kulia na kuzunguka kwa mwelekeo wa saa: Tunapita upinzani wa $R_3$ (unashirikiwa na $I_2$ ) katika mwelekeo wa $I_3$ (voltage drop), kwa hivyo $-R_3(I_3 - I_2)$ .
  $-R_3(I_3 - I_2) = 0$
  Kwa kuwa $R_3$ ni upinzani na si sifuri, tunaweza kugawanya kwa $R_3$ :
  $I_3 - I_2 = 0$ $I_3 = I_2 \quad \text{(Equation 3)}$
Tatua mfumo wa milinganyo ya linear.
Sasa tuna mfumo wa milinganyo mitatu:
1. $-3I_1 + 2I_2 = -10.5$
2. $2I_1 - (2+R_3)I_2 + R_3 I_3 = -1.5$
3. $I_3 = I_2$
Badilisha Equation 3 ( $I_3 = I_2$ ) kwenye Equation 2:
$2I_1 - (2+R_3)I_2 + R_3 I_2 = -1.5$ $2I_1 - 2I_2 - R_3 I_2 + R_3 I_2 = -1.5$ $2I_1 - 2I_2 = -1.5 \quad \text{(Equation 4)}$
Sasa tuna mfumo wa milinganyo miwili na haijulikani miwili ( $I_1$ na $I_2$ ):
1. $-3I_1 + 2I_2 = -10.5$
2. $2I_1 - 2I_2 = -1.5$
Ongeza Equation 1 na Equation 4:
$(-3I_1 + 2I_1) + (2I_2 - 2I_2) = -10.5 - 1.5$ $-I_1 = -12$ $I_1 = 12 \text{ A}$
Badilisha $I_1 = 12\text{ A}$ kwenye Equation 4:
$2(12) - 2I_2 = -1.5$ $24 - 2I_2 = -1.5$ $-2I_2 = -1.5 - 24$ $-2I_2 = -25.5$ $I_2 = \frac{-25.5}{-2}$ $I_2 = 12.75 \text{ A}$
Kutoka Equation 3, $I_3 = I_2$ :
$I_3 = 12.75 \text{ A}$
Andika majibu ya mwisho.
Thamani za mikondo ni:
$I_1 = \boxed{12 \text{ A}}$ $I_2 = \boxed{12.75 \text{ A}}$ $I_3 = \boxed{12.75 \text{ A}}$

On the basis of Kirchhoff's laws determine the values for the currents: r=0.5 and R=0.5 .

Answer

Step-by-step solution

Andika milinganyo ya KVL kwa kila kitanzi (mesh).

Tatua mfumo wa milinganyo ya linear.

Andika majibu ya mwisho.

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Physics Questions